2020考研数学一真题及答案
一、选择题：1~8 小题，第小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1. x ? 0? 时，下列无穷小阶数最高的是 A. ? x 2
0 ?et?1?dt
B. ? x 0
ln ?1+ t3
?dt
C. ?sin ?
x 0 sint 2dt
1?cos x D. ??
0 sin3 tdt
1. 答案：D
2. 设函数 f (x) 在区间（-1，1）内有定义，且lim x?0
f ( x) ? 0, 则（
f (x)
A. 当lim? 0, f ( x)在x ? 0 处可导. x ??0
| x |
B. 当lim
f (x)
x?0
? 0, f ( x)在x ? 0 处可导.
C. 当 f (x)在x ? 0处可导时,lim f (x) x ?0 ?
? 0.
| x |
D. 当 f (x)在x ? 0处可导时,lim
f (x)
x?0
? 0.
）
2. 答案：B
f (x)
? 0 ?lim
f (x)
? 0 ? lim
f (x)
? 0, lim f (x) ? 0
x?0??
解析:?lim
x?0
x?0
| x |
x?0??
x x
?lim
x?0 f (x)
? 0, lim f ( x) ? 0
x?0
x
?lim f (x) ? f (0) ? lim f (x) ? 0 ??f ?(0) x?0 x ? 0 x?0 x
? f (x) 在 x ? 0 处可导?选 B
lim A. ( x, y )?(0,0)
| n ? ( x, y, f ( x, y)) |
? 0存在
lim B. ( x, y )?(0,0) lim C. ( x, y )?(0,0)
x2 ? y2 ? 0存在
| n ?( x, y, f ( x, y)) |
x2 ? y2
| d ? ( x, y, f ( x, y)) |
lim D. ( x, y )?(0,0)
x2 ? y2 ? 0存在
| d ?( x, y, f ( x, y)) |
3. 答案：A
x2 ? y2 解析：
? 0
? f (x, y)在(0, 0) 处可微. f (0, 0)=0
?lim x?0 y?0 f (x, y) ? f (0, 0) ? f x?(0, 0) ? x ? f y?(0, 0) ? y
x2 ? y2 f (x, y) ? f x?(0, 0) ? x ? f y?(0, 0) ? y
x2 ? y2 ? 0
? 0
即limx?0
y?0 ? n ? ? x, y, f (x, y) ? ? f x?(0, 0)x ? f y?(0, 0) y ? f (x, y)
n ? ? x, y, f (x, y) ??x2 ? y2 ? lim
( x, y )?(0,0)
? 0 存在
?选 A.
4.设 R 为幂级数
? a r 的收敛半径，r 是实数，则（
n n ??
）
n?1
???
A.
a r n发散时， n | r |? R
n?1
??
B.
?n n
a r 发散时，| r |? R
n?1
??
C.| r |? R 时，
n??1 a r n
发散 n
??
D.| r |? R 时，
n??1
a r n发散 n
4. 答案：A
解析：
??
∵R 为幂级数
? a x nn 的收敛半径 .
n?1
??
∴
? a x 在n n (?R, R) 内必收敛.
n?1
??
∴
? a r 发散时，n n | r |? R .
n?1
∴选 A. 5. 若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（ A. 存在矩阵 P，使得 PA=B B. 存在矩阵 P，使得 BP=A C. 存在矩阵 P，使得 PB=A D. 方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解 5. 答案：B 解析：
?A 经初等列变换化成 B. ?存在可逆矩阵 P1 使得 AP1 ? B
? A ? BP?1令P ? P?1
1 1
）? A ? BP.?选B.
6.
: 已知直线 L 1
x ? a2 y ? b2 2 ? c2 x ? a3 y ? b3 2 ? c3
? ? L : ? ? 与直线 2 相交于一点，法a2 b2 c2 a1 b1 c1
?ai ????
向量 a ? b ,i ? 1, 2, 3. 则
i ? i ????ci ???
A. a1 可由 a2 , a3 线性表示
B. a2 可由 a1, a3 线性表示
C. a3 可由 a1, a2 线性表示
D. a1, a2 , a3 线性无关
6.
答案：C 解析：
令 L 1 的方程
x ? a2 y ? b2 z ? c2
= ? ? ta1 b1 c1
x ??? a2 ? ? a1 ???? y ? ? ?? ?
b ? t b ? =? ? t??即有
? ? ??2 ? ? 1 ? 2 1 ? z ? ? c ? ? c ??? ? ? 2 ? ? 1 ??a ? a2 ??? x ? ?? 3 ?? ?? ??
由 L 的方程得y ? b ? t b =? ? t??2 2 ? ? ? 3 ? ? 2 ? 3
? z ? ? c ? ? c ??? ? ? 3 ? ? 2 ??
?
L1 与 L2 相交得存在 ??由直线 t 使?2 ? t1 ??3 ? t2
?t)?即?C. 3 ? t1 ? (1? 2 ，?3 可由?1 ,?2 线性表示，故应选
7. 设 A,B,C 为三个随机事件，且 P( A) ? P(B) ? P(C) ?
1
P( AC) ? P(BC) ? ，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为
12
3
A. B. C.
1
, P( AB) ? 0 4
4 2
3 1 2
5
D. 12
7. 答案：D
解析： P( ABC ) ? P( ABUC) ? P( A) ? P[ A(BUC)]
? P( A) ? P( AB ? AC)
? P( A) ? P( AB) ? P( AC) ? P( ABC) 1 1 1? ? 0 ? ? 0 ? 4 12 6
P(BAC ) ? P(BAUC) ? P(B) ? P[B( AUC)] ? P(B) ? P(BA) ? P(BC) ? P( ABC) 1 1 1? ? 0 ? ? 0 ? 4 12 6
P(CBA) ? P(CBUA) ? P(C) ? P[CU (BUA)] ? P(C) ? P(CB) ? P(CA) ? P( ABC) 1 1 1 1? ? ? ? 0 ? 4 12 12 12
P( ABC ? ABC ? ABC) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC) 1 1 1 5 ? ? ? ? 6 6 12 12
选择 D
8. 设 X1 , X 2 ,…, X n 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? , ?(x) 表
1
? 100 ??
示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P ? ? Xi ? 55? 的近似值为
? i?1 ??
?
2
A.1? ?(1)
B. ?(1)
C.1? ?(2)
D. ?(2)
1 1
EX ? , DX ? 解析：由题意
2 4
8.答案：B
2020考研数学一真题及答案
