若 x ? y,则P{X ? x, X ? y, X ? 1} ? P{X ? x} ? ?(x)
1 1 3 1 1 1 2 2 1 1
? x, X ? y, X ? 1} ? P{X ? y} ? ?( y) 若 x ? y,则P{X 1 1 3 1 2 2 1 ? 1
?(x)?( y) ? ?(x), x ? y ? 2F (x, y) ? ? 2 故
1 1 ? ?(x)?( y) ? ?( y), x ? y ? 2 ?2
(2)
FY ( y) ? P{Y ? y}
? P{X 3 ( X1 ? X 2 ) ? X 2 ? y} 1 1
? P{X ( X ? X ) ? X ? y | X ? 0}? P{X ( X ? X ) ? X ? y | X
3 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2 1 1
? P{X 2 ? y | X 3 ? 0}? P{X 1 ? y | X 3 ? 1} 2 2 1 1
? ?( y) ? ?( y) 2 2 ? ?( y).
3
? 1}
?
23. 设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为 ?
m t ????? ????
1? e, t ? 0, ? ?
F (t) ? ? ?
?其他. ? 0,
?
其中?,m 为参数且大于零.
（1） 求概率 P{T ? t} 与 P{T ? s ? t | T ? s} ，其中 s ? 0,t ? 0 .
（2） 任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1 , t2…, tn ，若 m 已知，求?的
? . 最大似然估计值?23.解析：
?????
（1） ?? ?P{T ? t} ? 1 ? F (t) ? e ?
? t ?m
?
? t ?m
??????? ?P{T ? s ? t | T ? s} ? P{T ? t} ? e ?
?
t
? ?? ?m
??
??mm?1?? ??
(2) f (t) ? F?(t) ? m?t.e , t ? 0
???0 其他 ?
似然函数 L(?) ??
? ? ?
n i ?1
f t ，? ? ??
i
??
?mn??mn t ??????
t ?… n 1
0
m ?1
? m
n ii?1
m
t ? 0
i
e ???t
其他
当t1 ? 0,t2 ? 0,…,tn ? 0 时
L(?) ? m?n?mn
?t …t ?1
m ?1 n
n
e
??? m
?t
i?1 i
m
取对数ln L(?) ? n ln m ? mn ln?? (m ?1) ?lnt i ???
i ?1
n
? m
?t
i ?1
n
m
i
?
d ln(?)
? ?
mn
求导数 令
d ln(?) d??d? ?
???( m?1) m
??
n
m
? 0 解得???
1 ?? ?ti ?1 i
? ??所以?的最大似然估计值? n i ?1 ?
2020考研数学一真题及答案
