人教版八年级上册数学 期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇? 【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②VQ?7.5(厘米/秒);(2)点P、Q在AB边上相遇,即经过了【解析】 【分析】
(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得△BPD≌△CQP;
②根据VP≠VQ,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;
(2)根据VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x秒,即可列出方程【详解】
(1)①因为t=1(秒), 所以BP=CQ=6(厘米) ∵AB=20,D为AB中点, ∴BD=10(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米) ∴PC=BD ∵AB=AC, ∴∠B=∠C,
80秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇. 315x6x220,解方程即可得到结果. 2
在△BPD与△CQP中,
?BP?CQ?
??B??C, ?PC?BD?
∴△BPD≌△CQP(SAS), ②因为VP≠VQ, 所以BP≠CQ, 又因为∠B=∠C,
要使△BPD与△CQP全等,只能BP=CP=8,即△BPD≌△CPQ, 故CQ=BD=10. 所以点P、Q的运动时间tBP6864(秒), 3此时
VQCQt10437.5(厘米/秒).
(2)因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇,依题意得解得x=
15x6x220, 280(秒) 3806160(厘米) 3此时P运动了
又因为△ABC的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P、Q在AB边上相遇,即经过了【点睛】
此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
80秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇. 3
2.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)作DF∥BC交AC于F,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD,由AAS证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;
(2)作DF∥BC交AC的延长线于F,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:如图,作DF∥BC交AC于F, 则△ADF为等边三角形 ∴AD=DF,又∵ ∠DEC=∠DCB, ∠DEC+∠EDB=60°, ∠DCB+∠DCF=60° , ∴ ∠EDB=∠DCA ,DE=CD, 在△DEB和△CDF中,
??EBD??DFC?120?,? ??EDB??DCF,?DE?CD?∴△DEB≌△CDF, ∴BD=DF, ∴BE=AD .
(2). EB=AD成立;
理由如下:作DF∥BC交AC的延长线于F,如图所示: 同(1)得:AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD, 又∵∠DBE=∠DFC=60°, ∴△DBE≌△CFD(AAS), ∴EB=DF, ∴EB=AD.