人教版八年级上册数学 期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②VQ?7.5（厘米/秒）；（2）点P、Q在AB边上相遇，即经过了【解析】 【分析】
（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△BPD≌△CQP；
②根据VP≠VQ，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；
（2）根据VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x秒，即可列出方程【详解】
（1）①因为t＝1（秒）， 所以BP＝CQ＝6（厘米） ∵AB＝20，D为AB中点， ∴BD＝10（厘米）
又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米） ∴PC＝BD ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇． 315x6x220，解方程即可得到结果. 2
在△BPD与△CQP中，
?BP?CQ?
??B??C, ?PC?BD?
∴△BPD≌△CQP（SAS）， ②因为VP≠VQ， 所以BP≠CQ， 又因为∠B＝∠C，
要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ， 故CQ＝BD＝10． 所以点P、Q的运动时间tBP6864（秒）， 3此时
VQCQt10437.5（厘米/秒）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得解得x=
15x6x220， 280(秒) 3806160（厘米） 3此时P运动了
又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了【点睛】
此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇． 3
2．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.
试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F， 则△ADF为等边三角形 ∴AD=DF，又∵ ∠DEC=∠DCB， ∠DEC+∠EDB=60°， ∠DCB+∠DCF=60° ， ∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD， 在△DEB和△CDF中，
??EBD??DFC?120?，? ??EDB??DCF，?DE?CD?∴△DEB≌△CDF， ∴BD=DF， ∴BE=AD .
(2). EB=AD成立；
理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示： 同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD， 又∵∠DBE=∠DFC=60°， ∴△DBE≌△CFD（AAS）， ∴EB=DF， ∴EB=AD.
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