中考 2020
类型二 二次函数与角度问题
2y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)例1、已知抛物线,与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y?x?5经过D、M两点.
(1) 求此抛物线的解析式;
(2)连接AM、AC、BC,试比较?MAB和?ACB的大小,并说明你的理由. 【答案】解:(1)∵CD∥x轴且点C(0,3),
∴设点D的坐标为(x,3) . ∵直线y= x+5经过D点, ∴3= x+5.∴x=-2. 即点D(-2,3) .
根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M(-1,y), 又∵直线y= x+5经过M点, ∴y =-1+5,y =4.即M(-1,4).
2y?a(x?1)?4. ∴设抛物线的解析式为
∵点C(0,3)在抛物线上,∴a=-1.
2y??x?2x?3.…………3分 即抛物线的解析式为
(2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N. 由(1)中抛物线y??x?2x?3可得
点A(-3,0),B(1,0), ∴AB=4,AO=CO=3,AC=32. ∴∠PAB=45°.
∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22. ∴PC=AC-PA=2.
2PB在Rt△BPC中,tan∠BCP=PC=2.
在Rt△ANM中,∵M(-1,4),∴MN=4.∴AN=2.
MNtan∠NAM=AN=2.
∴∠BCP=∠NAM.
中考 2020
即∠ACB=∠MAB.
例2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?ax?bx?3经过点N(2,-5),过点N作x轴
的平行线交此抛物线左侧于点M,MN=6. (1)求此抛物线的解析式;
(2)点P(x,y)为此抛物线上一动点,连接MP交此抛物线的对称轴于点D,当△DMN为直
角三角形时,求点P的坐标;
(3)设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点Q,使∠QMN=∠CNM ?若存在,求出y2点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)∵y?ax?bx?3过点M、N(2,-5),MN?6, 由题意,得M(?4,?5).
28765432112345678x?4a?2b?3??5,∴?
16a?4b?3??5.??a??1,解得 ?
b??2.?2-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10∴此抛物线的解析式为y??x?2x?3. …………………………………2分 (2)设抛物线的对称轴x??1交MN于点G,
若△DMN为直角三角形,则GD1?GD2?1MN?3. 2y∴D1(?1,?2),D2(?1,?8). ………………………………………4分 直线MD1为y?x?1,直线MD2为y??x?9.
2将P(x,?x?2x?3)分别代入直线MD1,
COP1D1MGNx中考 2020
MD2的解析式,
得?x2?2x?3?x?1①,?x2?2x?3??x?9②. 解①得 x1?1,x2??4(舍),
∴P1(1,0). …………………………………5分 解②得 x3?3,x4??4(舍),
∴P2(3,-12). ……………………………6分 (3)设存在点Q(x,?x2?2x?3),
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方,过点Q作QH⊥MN, 交MN于点H,则
QCOxNyQH?tan?CNM?4. MHMH即?x2?2x?3?5?(. 4x?4)解得x1??2,x2??4(舍).
∴Q1(?2,3). ……………………………7分 ② 若点Q在MN下方,
同理可得Q2(6,?45). …………………8分
2例3、平面直角坐标系xOy中,抛物线y?ax?4ax?4a?c与x轴交于点A、点B,与y轴
的正半轴交于点C,点 A的坐标为(1, 0),OB=OC,抛物线的顶点为D. (1) 求此抛物线的解析式;
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB,求点P的坐标;
(3) Q为线段BD上一点,点A关于∠AQB的平分线的对称点为A?,若QA?QB?2,
求点Q的坐标和此时△QAA?的面积.