1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标:1.了解弧度制,能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.(重点)2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.角度制与弧度制的定义
(1)角度制:用度作单位来度量角的制度叫做角度制.角度制规定60分等于1度,60秒等于1分.
(2)弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制. 2.角的弧度数的计算
l在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对圆心角为α rad,则α=r. 3.角度与弧度的互化
4.一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 弧度 0° 0 15° π12 30° π6 45° π4 60° π3 角度 弧度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° π 7π6 5π4 4π3 3π2 5π3 7π4 11π6 360° 2π 75° 5π12 90° π2 120° 135° 150° 2π3 3π4 5π6 思考1:某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S={α|α=2kπ+30°,k∈Z},这种表示正确吗?为什么?
[提示] 这种表示不正确,同一个式子中,角度、弧度不能混用,否则产生混乱,
???π
正确的表示方法应为?α?α=2kπ+6,k∈Z
???
??
?或{α|α=k·360°+30°,k∈Z}. ??
5.扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则
α为度数 α为弧度数 第 1 页
扇形的弧长 απrl=180° l=αr 扇形的面积 απr2S=360° 11S=2lr=2αr2 1思考2:在弧度制下的扇形面积公式S=2lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆?
[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆.
[基础自测]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.( ) (2)1弧度是长度为半径的弧.( )
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.( )
(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位.( ) [解析] 根据弧度制的定义知(4)正确. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.1 080°等于( ) A.1 080 3πC.10
πB.10 D.6π
D [1 080°=180°×6,所以1 080°化为弧度是6π.] π
3.圆心角为3弧度,半径为6的扇形的面积为________. 1π
[解析] 扇形的面积为2×62×3=6π. [答案] 6π
[合 作 探 究·攻 重 难]
弧度制的概念
下列命题中,假命题是( )
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
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B.1°的角是周角的360,1 rad的角是周角的2π C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息:各选项中均涉及到角度与弧度,解答本题可从角度和弧度的定义着手.
[解析] 根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是与弧长与半径的比值有关,所以D项是假命题,A、B、C项均为真命题. [答案] D
[规律方法] 弧度制与角度制的区别与联系
①单位不同,弧度制以“弧度”为度量单位,角度制以“度”为区别 度量单位; ②定义不同. 联系 [跟踪训练] 1.下列各说法中,错误的说法是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D [根据1弧度角的定义可知选项C正确,D错误;由半角和周角概念及角度与弧度换算可知A,B项正确.] 角度制与弧度制的转换
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设角α1=-570°,α2=750°,β1=5π,β2=-3π. (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们有相同终边的所有角.
不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 第 3 页