北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准 2017.1
A卷 [必修 模块4] 满分100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.C 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. ?2 12.
π2242, ? 13. y?cos(2x?)(或y??sin2x)
239208 16. ○2○3 22514. 150? 15. ?注：第16题少选得2分，多选、错选不得分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由tan(??tan??11π1)??，得??， ………………3分 431?tan?3 解得tan???2. ………………5分
所以tan2??2tan?4?. ………………8分
1?tan2?3（Ⅱ）由tan???2，得cos??0.
将分式
sin??cos?的分子分母同时除以cos?,
2cos??sin?得
sin??cos?tan??11???. ………………12分
2cos??sin?2?tan?418.（本小题满分12分）
π) 3ππ ?cosx?(cosxcos?sinxsin)………………2分
33
解:（Ⅰ）f(x)?cosx?cos(x??
13………………3分cos2x?sin2x24 311………………4分sin2x?cos2x?444
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?
1π1sin(2x?)?， ………………6分 264πππππ 由2kπ?≤2x?≤2kπ+，得kπ?≤x≤kπ+，
26236ππ 所以f(x)的单调递增区间为[kπ?,kπ+],(k?Z). ………………8分
36π（Ⅱ）因为sin(2x?)?[?1,1],
61π113 所以函数f(x)?sin(2x?)?的值域为[?,]. ………………10分
26444 ? 因为直线y?a与函数f(x)的图象无公共点，
所以a?(??,?)?(,??). ………………12分 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如图，以点B为原点，以AB，BC所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，
1434
????????????则B(0,0)，A(?2,0)，C(0,a)，D(?1,a)，AD?(1,a)，AB?(2,0)，BC?(0,a).
………………2分
???????????? 由AP?xAD, 得AP?(x,ax).
y D C P A B x ???????????? 所以PB?PA?AB?(2?x,?ax)，
???????????? PC?PB?BC?(2?x,a?ax). ………4分 ???????? 所以y?PB?PC?(2?x)2?a2x?a2x2，
222 即f(x)?(a?1)x?(a?4)x?4. ………………6分 所以f(1)?1. ………………7分 （注：若根据数量积定义，直接得到f(1)?1，则得3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知函数f(x)?(a?1)x?(a?4)x?4为二次函数，其图象开口向上，
222a2?4 且对称轴为x?， ………………8分 22(a?1)a2?4(a2?1)?3131 因为对称轴x?，x?[0,1]， ……10分 ????2222(a?1)2(a?1)22(a?1)2 所以当x?0时， f(x)取得最大值f(0)?4. ………………12分
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B卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1. [?1,0) 2. ?2或e2 3. (?3,0)?(3,??) 4. {0,1} 5. [10,20] 2注：第2 题少解不得分.
二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）由f(a)?log4a?11a?1?，得?2， ………………2分 a?12a?1x?1x?1?0. ………………5分 有意义，得
x?1x?1 解得a??3. ………………4分 （Ⅱ）由函数f(x)?log4 所以函数f(x)的定义域为{x|x?1，或x??1}. ………………6分
因为f(?x)?log4?x?1x?1?1x?1?log4()??log4??f(x)， ?x?1x?1x?1所以f(?x)??f(x)，
即函数f(x)为奇函数. ………………10分 7.（本小题满分10分）
解: （Ⅰ）由函数f(x)?3，g(x)?|x?a|?3，
得函数h(x)?f[g(x)]?3|x?a|?3. ………………1分 因为函数h(x)的图象关于直线x?2对称， 所以h(0)?h(4)，即3|a|?3x?3|a?4|?3，
解得a??2. ………………3分 （Ⅱ）方法一：由题意，得g[f(x)]?|3?a|?3.
由g[f(x)]?|3x?a|?3?0，得|3x?a|?3， ………………5分 当a≥3时，
xx 由3?0，得3?a?3，
x 所以方程|3x?a|?3无解，
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即函数y?g[f(x)]没有零点； ………………6分 当?3≤a?3时，
因为y?3x?a在R上为增函数，值域为(a,??)，且?3≤a?3，
所以有且仅有一个x0使得3x0?a?3，且对于任意的x，都有3x?a??3， 所以函数y?g[f(x)]有且仅有一个零点； ………………8分 当a??3时，
因为y?3x?a在R上为增函数，值域为(a,??)，且a??3，
所以有且仅有一个x0使得3x0?a?3，有且仅有一个x1使得3x1?a??3， 所以函数y?g[f(x)]有两个零点.
当?3≤a?3时，综上，当a≥3时，函数y?g[f(x)]没有零点；函数y?g[f(x)]有且仅有一个零点；当a??3时，函数y?g[f(x)]有两个零点. ………………10分 方法二：由题意，得g[f(x)]?|3?a|?3.
由g[f(x)]?|3x?a|?3?0，得|3x?a|?3， ………………5分 即3x?a?3，或3x?a??3， 整理，得3x?3?a，或3x??3?a. ○1考察方程3x?3?a的解，
由函数y?3x在R上为增函数，且值域为(0,??)，
得当3?a?0，即a?3时，方程3x?3?a有且仅有一解；当3?a≤0，即a≥3时，方程3x?3?a有无解； ………………7分
○2考察方程3x??3?a的解，
由函数y?3x在R上为增函数，且值域为(0,??)，
得当?3?a?0，即a??3时，方程3x??3?a有且仅有一解；当?3?a≤0，即a≥-3时，方程3x??3?a有无解. ………………9分
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x 当?3≤a?3时，综上，当a≥3时，函数y?g[f(x)]没有零点；函数y?g[f(x)]有且仅有一个零点；当a??3时，函数y?g[f(x)]有两个零点. ………………10分 注：若根据函数图象便得出答案，请酌情给分，没有必要的文字说明减2分. 8.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）答案不唯一，如函数y?0，y?x等. ………………3分 （Ⅱ）因为函数f(x)?ax?bx?c的图象经过点(?1,0)，
所以a?b?c?0. ○1
因为y?x为函数f(x)一个承托函数，且f(x)为函数y? 所以x≤f(x)≤x?2121x?的一个承托函数， 221221对x?R恒成立. 21，即 f(1)?a?b?c?1. ○ 所以1≤f(1)≤2 ………………5分
由○1○2，得b?11 ，a?c?. ………………6分 2211x??a. 222 所以f(x)?ax?2 由f(x)≥x对x?R恒成立，得ax?11x??a≥0对x?R恒成立. 22 当a?0时，得?11x?≥0对x?R恒成立，显然不正确； ………………7分 22?a?0,?2 当a?0时，由题意，得? 即(4a?1)≤0， 11???4a(?a)≤0,??42 所以a?1. ………………9分 4121111x?，得x2?x?≥0， 224242代入f(x)≤化简，得(x?1)≥0对x?R恒成立，符合题意.
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2017年1月北京市西城区高一数学期末试题答案
