AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年河南省普通高中自主招生数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．﹣8的相反数是（ ） A．﹣8
B．
C．8
D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案． 【解答】解：﹣8的相反数是8， 故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为（ ） A．2.1×109
B．0.21×109
C．2.1×108
D．21×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108． 故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形， 故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4．在下列的计算中，正确的是（ ） A．m3+m2＝m5 C．（2m）3＝6m3
B．m5÷m2＝m3 D．（m+1）2＝m2+1
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝m3，符合题意； C、原式＝8m3，不符合题意； D、原式＝m2+2m+1，不符合题意， 故选：B．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ） A．95
B．90
C．85
D．80
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解． 【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90． 故选：B．
【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ） A．B．
C．D．
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7．若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根， 则满足条件的最小整数a的值是（ ）A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】根据根的判别式即可求出a的范围． 【解答】解：由题意可知：△＞0， ∴1﹣4（﹣a+）＞0， 解得：a＞1
故满足条件的最小整数a的值是2， 故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（ ）
A．85° B．70° C．75° D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠AOC＝120°，再求出∠BOC＝30°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥OC，∠A＝60°， ∴∠A+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DEO＝∠C+∠BOC＝45°+30°＝75°； 故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
9．3）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，，B点落在D点的位置， 将矩形沿对角线AC翻折，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标． 【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F， ∵点B的坐标为（1，3）， ∴AO＝1，AB＝3， 根据折叠可知：CD＝OA，
而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO， ∴△CDE≌△AOE， ∴OE＝DE，OA＝CD＝1，
设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x， ∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2， ∴（3﹣x）2＝x2+12，
2024年3月河南省普通高中自主招生数学试卷(含答案解析)
