vn?v0?(1?e)?(1?e?e2??en?1)u0 (7)
由式(6)可知,只有当碰撞次数n??时,碰地后竖直方向的分速度un才趋向于零,但物块对地面的正压力的最小值不小于mg。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于?mg,因次,物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零,且不会反向。
设经过n?n0次碰撞,物块沿水平方向的分速度已经足够小,再经过一次碰撞,即在
n?n0?1次碰撞结束后,水平方向的分速度恰好变为零。因vn v0?(1?e)?(1?e?e2?0?1?0,由式(7)
?en0)u0?0
(1?e)?(1?en0?1)u0v0??0
1?e e两边取对数
n0?1?1?(1?ev)0
(1?e?)u0n0?1?令
B?(1?e)v0?1?lg?1?? (8) lge?(1?e)?u0?(1?e)v0?1?lg?1?? (9) lge?(1?e)?u0?若B恰为整数,这表示这次碰撞中,经过整个碰撞时间?t,水平速度变为零,则碰撞次数
n0?1?B
有 n0?B?1 (10)
若B不是整数,此种情况对应于在n?n0?1次碰撞结束前,即在小于碰撞时间内,水平速度变为零。则碰撞次数
n0?1??B??1 有
n0??B? (11)
?B?表示B的整数部分。
由于经过n0?1次碰撞,物块沿水平方向的分速度已为零,但竖直方向的分速度尚未为零,故物块将在An0?1处作上下跳跃,直到enu0?0,即n??,最后停止在An0?1处。物块运动
第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第11页
的最远水平距离s?A0An0?1。下面分别计算每次跳跃的距离。
A0A1?u0v0 (12) g22eu0v02eu02u1v1??(1?e)? A1A2?ggg22e2u0v02e2u0?(1?e)?(1?e) A2A3?gg…………
22en0u0v02en0u0?(1?e)?(1?e?e2? An0An0?1?gg?en0?1) (13)
所求距离为上述所有量的总和,为
u2u0v0(e?e2? s?0v0?gg ?2u203?e)?(1?e)?[e?e2(1?e)?e(1?e?e)2
gn0?en0(1?e?e2??en0?1)] (14)
分别求级数的和:
1?en0 (15) e?e?e??e?e1?ee?e2(1?e)?e3(1?e?e2)??en0(1?e?e2??en0?1)23n0
?e?e?21?e21?e?e31?e31?e?1?en0?e1?en01[e(1?e)?e2(1?e2)?e3(1?e3)?1?en2?02
?en0(1?en0)]1e?en0?1?en0?2?e ?(1?e1?e2) (16)
将以上两个关系式和u0?2gh代入式(14),得
s?v02h1?en04e?hn0n0?1(1?2e)?(1?e)(1?e) (17) 2g1?e(1?e)式中n0由式(10)或式(11)决定。
评分标准:本题25分。
式(6)3分,式(7)6分,式(8)4分,式(10)2分,式(11)2分,式(14)5分,求得式(17)并说明n0的取值,给3分。
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