第20届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准

一、参考解答

令m表示质子的质量，v0和v分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知

1212mv0?mv?eU （1） 22

因为a不动，可取其球心O为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O点的角动量守恒。所求l的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以lmax表示l的最大值，由角动量守恒有

mv0lmax?mvR （2）

由式（1）、（2）可得

lmax?1?代入数据，可得

eUR （3） 2mv0/22R （4） 2若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中e改为?e。同理可求得

lmax? lmax?

评分标准：本题15分。 式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第1页

6R （5） 2

二、参考解答

在温度为T1?(27?273)K=300K时，气柱中的空气的压强和体积分别为

p1?p0?h， （1） V1?lSC （2）

当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到T2时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大

?h?bSC （3） SB由此造成气柱中空气体积的增大量为

?V??bSC （4）

与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大?h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为

?V????hSA （5）

所以，当温度为T2时空气的体积和压强分别为

V2?V1??V???V?? （6） p2?p1??h （7）

由状态方程知

p1V1p2V2 （8） ?T1T2由以上各式，代入数据可得

T2?347.7K （9）

此值小于题给的最终温度T?273?t?370K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空

气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为

V?代入数据可得

TV2 （10） T2V?0.72cm3 （11）

评分标准：本题15分。

求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第2页

三、参考解答

位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为

F?GM?m， （1） 2r式中M?是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以?表示地球的密度，此质量可以表示为

4??r3 （2） 3于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为

4 F??G?mr （3）

3作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为

f?Fsin? （4）

M??x （5） r?为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中 点C的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为

sin?? mg?GM0m （6） 2R0式中M0是地球的质量。由上式可以得到

4 g??G?R0 （7）

3由以上各式可以求得

f?mgx （8） R0可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为 k?mg （9） R0物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为T?2?R0/g。取x?0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x?0处的速度为v0，则根据能量守恒，有

1212mv0?k(R0?h2) （10） 22式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第3页

2v02R0?h2?g （11）

R0可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。

设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是v0，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有

Mv0?mv0?MV?mv， （12）

112112Mv0?mv0?MV2?mv2 （13） 2222解式（12）和式（13），得

3M?m v?v0 （14）

M?m质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有

1112k(R0?h2)?mu2?mv2 （15） 222由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

2?h28M(M?m)R0u?g （16）

R0(M?m)22u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如

果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有

M0mu2G2?m （17）

R0R0由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

Rh?02已知M?20m，则得

7M2?10Mm?m2 （18）

2M(M?m)h?0.925R0?5920km （19）

评分标准：本题20分。

求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。

四、参考解答

图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i?，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有

sini? ?n （1）

sini

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第4页

在?OMP中

lx （2） ?sinisini?l2?R2?x2?2Rxcosi （3）

由式（1）和式（2）得

x?nl 再由式（3）得

x2?n2(R2?x2?2Rxcosi)

设M点到Ox的距离为h，有

h?Rsini

Rcosi?R2?R2sin2i?R2?h2 得

x22222 ?R?x?2xR?h2n1x2(1?2)?2xR2?h2?R2?0 （4）

n解式（4）可得

n2R2?h2?nR2?n2h2x? （5）

n2?1为排除上式中应舍弃的解，令h?0，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式

n(n?1)nnR?R或R

n?1n?1n2?1由图可知，应有x?R，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为

x?n2R2?h2?nR2?n2h2x? （6）

n2?1上式给出x随h变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有h?h0，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷参考解答 第5页