∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),
则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 2(p?1)2?1. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .
当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM =
15 （本小题满分16分）
解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场， 得??x?y?z?12?y?19?3x，可得：? 4分
3x?y?19z?2x?7??1|AB||b|取最小值1 . 5分 2依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，
?19?3x?0719?∴?2x?7?0 解得：≤x≤ ，∴ x可取4、5、6 4分
23?x?0?∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ；
当x=6时，y=1,z= 5. 4分 （2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300
当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答略. 4分
16（本小题满分18分）
解：(1)如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，
设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2);
若C点过y =
33x－1；则2=(m＋3)－1, 223x－1； 2m = －1与m＞0不合； ∴C点不过y=
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若点D过y=
33x－1，则2=m－1, m=2, 22∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 （2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)， 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，
?0?4a?2b?c?b??7a∴? ∴? 2分
?0?25a?5b?c?c?10a∴y = ax2－7ax＋10a
( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a ) ∴y = a(x－
722)－94a； ∴抛物线顶点P(
72, －94a) ∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部, ∴
3982＜－4a ＜ 2,∴－9＜a＜–23. ② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；
∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt?DCF中， ∵DF2＋DC2=CF2； ∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=
998, ∴F(2, 8) ∴当PF∥AB时，P点纵坐标为
98；∴－94a =918，∴a = －2; ∴抛物线的解析式为：y= －
12x2＋72x－5 抛物线与y轴的交点为Q（0，－5）， 又直线y =
32x－1与y轴交点（ 0，－1）； ∴Q在直线y=32x－1下方.
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2分 3分 3分 3分
长郡中学实验班选拔考试试卷（数学）
