二项式展开定理
一、 定理及基本概念
1.
0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnn(n?N*)；
2. 项数：一共n?1项；
rn?rr3. 通项：Tr?1?Cnab；一定注意两点：
1) 涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式； 2) 注意项数与系数r的关系。
4. 二项式系数与各项系数之间的联系与区别。
二、 性质
rn?r1. 二项式系数的对称性：Cn?Cn；
2. 二项式系数和：2；
3. 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=24. 二项式系数最大项：
1) 当n是偶数时，此时项数n?1是奇数，中间项的二项式系数C最大； 2) 当n是奇数时，此时项数n?1是偶数，中间两项的二项式系数C5. 系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。
n?12=nn2nnn?1；
Cn?12最大。 n
基本题型解题思路及步骤
一、 利用通项公式求某项系数
1. 写出通项公式的时候注意： 1) 所有的系数写在最前面，包括符号； 2) 所有根式都写出分数次数形式； 3) 明白什么是有理项； 4) 注意r的取值范围。
2. 只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。 3. 有两个式子相乘：
1) 分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；
2) 只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数； 3) 有多个ri的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。
二、 赋值求系数和
1. 常用的赋值是令x?0,1,?1，具体要通过所求的式子来判断赋值；
2. 所有系数之和：令x?1；二项式系数之和：2；
3. 所有系数绝对值之和：令x??1；变换原来式子里的符号，边为相加；再令x?1； 4. 求导和积分的形式。
n三、 对二项式定理的理解：组合项、整除
1. 二项式定理的a,b理解：都表示一个整体； 2. 根据所求的问题，对前面的a,b进行重新组合。
例题讲解
一、 求某项的系数
1. 求(x?19)展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。 x2r9?r?2rrr9?3r解：直接用通项公式打开：Tr?1?C9(x)(?x)?C9(?1)x；（注意系数都放一起）
常数项即x的次数为0，也即：9?3r?0?r?3；所以常数项为第4项；
33且常数项为：C9(?1)??84
2. 在二项式(143n1?x)的展开式中，第四项的系数为56，求的系数。 3xx解：第四项的系数为56：注意：项数与展开式中r的取值的关系。此时：r?3。
3Cn=56，解得：n?8；
再利用通项公式：Tr?1?C(x)r8?138?r(x)?Cx34rr813r?3212；
要求
113r?321的系数，所以：???r?2；
122x故
12前的系数为：C8?28 x12x3. 求二项式(3x?2)10展开式中常数项的值。
解： Tr?1?C(3x)r10210?r5r1?11r40?r10?r2r2(?x)?C10(3)(?)x，所以r?8； 22常数项的值为：C103(?)?
82128405。（一定严格按步骤来，注意系数的符号） 256
84. 求二项式(x?23x)展开式中有理项的系数和。
解：什么是有理项x，当k?Z时为有理项；
128?r13r24?r6k用通项公式打开：Tr?1?C(x)要满足有理项，即：
r8(?2x)?C(?2)xr8r；
24?r?Z且0?r?8,r?Z，所以：r?0或r?6 60066当r?0时，C8(?2)?1；当r?6时，C8(?2)?1792；
故：有理项的系数和为1793。
5. 求多项式(x?16)(x?1)10展开后常数项。 x解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的r1,r2的取值范围；
?16r16?r1r22r1C(x)(x)；(x?1)10展开：C10(x2)10?r2(?1)r2 (x?) 展开：6x1116r2(?1)r2x)(x?1)10展开后：C6r1C10所以：(x?x22?r2?3r12（0?r1?6,0?r2?10）
所以：22?r2?3r1?0，所以：r1?4,r2?10或r1?5,r2?7或r1?6,r2?4； 当r1?4,r2?10时，C6C10(?1)41010?15；
577当r1?5,r2?7时，C6C10(?1)??720；
644当r1?6,r2?4时，C6C10(?1)?210；
所以常数项为：15?210?720??495。
26. 求展开式(1?3x)(1?2x)中，x的系数。
43解：(1?3x)展开：C41(3x)1；(1?2x)展开：C32(?2x)2； 所以：(1?3x)(1?2x)展开：C41C3231(?2)2x143rrrrr?r24rr3rr，其中：0?r1?4,0?r2?3；
所以：??r1?0?r1?1?r1?2或?或?；
?r2?2?r2?1?r2?0020211112020故系数为：C4C33(?2)?C4C33(?2)?C4C33(?2)??6
7. 已知(1?x?x)(x?解： (x?21n)（2?n?8）的展开式中没有常数项，则n的值为。 x31nr1n?r1r1n?4r1?3r1C(x)(x)?Cx展开：； )nn3x由题意可知，展开式中没有常数项。则n?4r1?0,n?4r1??1,n?4r1??2， 所以：n?4r1,n?4r1?1,n?4r1?2，所以：n?5。
8. 求(x?3716?1)?(2x?)中，x的系数。 3xx9529. 求(x?3x?1)(x?2)的展开式中，x前的系数为
2310. 求(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?(x?1)的展开中x的系数。
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二项式展开
