经典
(一)三角函数与解三角形
π?π???1．(2024·天津河北区模拟)已知函数f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋?＋2sin xcos x，x∈R. 3?6???(1)求函数f(x)的最小正周期；
?π?(2)当x∈?0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．
2??
π?π???解 (1)∵f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋?＋2sin xcos x
3?6???
ππππ
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2xcos －sin 2xsin ＋sin 2x
3366＝3cos 2x＋sin 2x π??2x＋＝2sin?， 3???∴T＝π.
πππ4π
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
2333
ππππ
∵当≤2x＋≤，即0≤x≤时，函数f(x)单调递增，
33212ππ4πππ
当≤2x＋≤，即≤x≤时，函数f(x)单调递减， 233122
?π??π?且f(0)＝3，f??＝2，f??＝－3，
?12??2?
∴f(x)max＝2，f(x)min＝－3.
2．(2024·天津河北区模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2C,2b＝3c. (1)求cos C的值； π??(2)求sin?2C＋?的值． 4??
解 (1)由2b＝3c及正弦定理可得2sin B＝3sin C， 又B＝2C，
∴2sin 2C＝3sin C， ∴4sin Ccos C＝3sin C， ∵0
∴cos C＝.
4
3
(2)由(1)得cos C＝，0
4∴sin C＝1－cosC＝27， 4
经典 37∴sin 2C＝2sin Ccos C＝， 812
cos 2C＝2cosC－1＝.
8
π?2?∴sin?2C＋?＝(sin 2C＋cos 2C) 4?2?＝
2?371?314＋2
. ?＋?＝
2?8168?
2
2
3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx＋23·sin xcos x(x∈R)． (1)求f(x)的最小正周期；
1
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长．
7π??解 (1)f(x)＝－cos 2x＋3sin 2x＝2sin?2x－?， 6??2π
∴T＝＝π，
2
∴函数f(x)的最小正周期为π. π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－?， 6??
π??∵在△ABC中，f(A)＝2，∴sin?2A－?＝1，
6??π?π11π?
又A∈(0，π)，∴2A－∈?－，，
6?6?6?πππ
∴2A－＝，∴A＝.
623143
又cos B＝，∴sin B＝，
77∴sin C＝sin(A＋B)＝3114353
×＋×＝， 272714
ca5a在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，
sin Csin A533
142
7
∴a＝7，∴BD＝，
2在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B
71129?7?22
＝5＋??－2×5××＝，
274?2?∴AD＝
129
. 2
经典
??π??π??4．(2024·重庆市綦江区调研)已知a＝(2cos x,2sin x)，b＝?sin?x－?，cos?x－??，函数f(x)＝cos〈a，
6?6?????
b〉．
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(A)＝1，求
b＋c的取值范围． aπ??π??π??解 (1)由条件可知，a·b＝2cos x·sin?x－?＋2sin x·cos?x－?＝2sin?2x－?，
6?6?6????π??2sin?2x－?6?π?a·b??∴f(x)＝cos〈a，b〉＝＝＝sin?2x－?.
6?|a||b|2?πkππ
由2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
6212即函数f(x)的零点为x＝(2)由正弦定理得
kππ
2
＋，k∈Z.
12
b＋csin B＋sin C＝， asin Aπ??由(1)知，f(x)＝sin?2x－?，
6??π??又f(A)＝1，得sin?2A－?＝1， 6??ππ
∴2A－＝2kπ＋，k∈Z，
62π
又A∈(0，π)，得A＝，
3
2π
∵A＋B＋C＝π，∴C＝－B，代入上式化简得，
3
?2π?sin B＋sin?－B?
b＋c?3?
＝ asin A33
sin B＋cos B22＝ sin A?π?3sin?B＋?6???π?＝＝2sin?B＋?.
6?sin A?
π
又在锐角△ABC中，有0
22ππ0
32
ππππ2π∴
经典 则有3?π?
b＋c≤2. a5．(2024·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝3sin C.
(1)若cosA＝sinB＋cosC＋sin Asin B，求sin A＋sin B的值； (2)若c＝2，求△ABC面积的最大值． 解 (1)∵cosA＝sinB＋cosC＋sin Asin B， ∴1－sinA ＝sinB＋1－sinC＋sin Asin B， ∴sinA ＋sinB－sinC＝－sin Asin B， ∴由正弦定理，得a＋b－c＝－ab，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2＋b2－c21∴由余弦定理，得cos C＝＝－，
2ab2
2π
又0
3
2π3
∴sin A＋sin B＝3sin C＝3sin ＝. 32(2)当c＝2，a＋b＝3c＝23，
a2＋b2－c2?a＋b?2－2ab－c24
∴cos C＝＝＝－1，
2ab2abab∴sin C＝1－cosC＝11
∴S＝absin C＝ab22
21－?
?4－1?2＝
??ab?
?4?28－??＋， ab??
ab?4?281
－??＋＝－16＋8ab. ?ab?ab2
∵a＋b＝23≥2ab，
即0
∴S＝－16＋8ab≤－16＋8×3＝2，
22∴△ABC面积的最大值为2.
(全国通用版)2024高考数学二轮复习 中档大题规范练(一)三角函数与解三角形 文
