经典
(一)三角函数与解三角形
π?π???1.(2024·天津河北区模拟)已知函数f(x)=sin?2x+?+cos?2x+?+2sin xcos x,x∈R. 3?6???(1)求函数f(x)的最小正周期;
?π?(2)当x∈?0,?时,求函数f(x)的最大值和最小值.
2??
π?π???解 (1)∵f(x)=sin?2x+?+cos?2x+?+2sin xcos x
3?6???
ππππ
=sin 2xcos +cos 2xsin +cos 2xcos -sin 2xsin +sin 2x
3366=3cos 2x+sin 2x π??2x+=2sin?, 3???∴T=π.
πππ4π
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
2333
ππππ
∵当≤2x+≤,即0≤x≤时,函数f(x)单调递增,
33212ππ4πππ
当≤2x+≤,即≤x≤时,函数f(x)单调递减, 233122
?π??π?且f(0)=3,f??=2,f??=-3,
?12??2?
∴f(x)max=2,f(x)min=-3.
2.(2024·天津河北区模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2C,2b=3c. (1)求cos C的值; π??(2)求sin?2C+?的值. 4??
解 (1)由2b=3c及正弦定理可得2sin B=3sin C, 又B=2C,
∴2sin 2C=3sin C, ∴4sin Ccos C=3sin C, ∵0
∴cos C=.
4
3
(2)由(1)得cos C=,0
4∴sin C=1-cosC=27, 4
经典 37∴sin 2C=2sin Ccos C=, 812
cos 2C=2cosC-1=.
8
π?2?∴sin?2C+?=(sin 2C+cos 2C) 4?2?=
2?371?314+2
. ?+?=
2?8168?
2
2
3.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)=sinx-cosx+23·sin xcos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期;
1
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=2,c=5,cos B=,求△ABC中线AD的长.
7π??解 (1)f(x)=-cos 2x+3sin 2x=2sin?2x-?, 6??2π
∴T==π,
2
∴函数f(x)的最小正周期为π. π??(2)由(1)知f(x)=2sin?2x-?, 6??
π??∵在△ABC中,f(A)=2,∴sin?2A-?=1,
6??π?π11π?
又A∈(0,π),∴2A-∈?-,,
6?6?6?πππ
∴2A-=,∴A=.
623143
又cos B=,∴sin B=,
77∴sin C=sin(A+B)=3114353
×+×=, 272714
ca5a在△ABC中,由正弦定理=,得=,
sin Csin A533
142
7
∴a=7,∴BD=,
2在△ABD中,由余弦定理得
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B
71129?7?22
=5+??-2×5××=,
274?2?∴AD=
129
. 2
经典
??π??π??4.(2024·重庆市綦江区调研)已知a=(2cos x,2sin x),b=?sin?x-?,cos?x-??,函数f(x)=cos〈a,
6?6?????
b〉.
(1)求函数f(x)的零点;
(2)若锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(A)=1,求
b+c的取值范围. aπ??π??π??解 (1)由条件可知,a·b=2cos x·sin?x-?+2sin x·cos?x-?=2sin?2x-?,
6?6?6????π??2sin?2x-?6?π?a·b??∴f(x)=cos〈a,b〉===sin?2x-?.
6?|a||b|2?πkππ
由2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
6212即函数f(x)的零点为x=(2)由正弦定理得
kππ
2
+,k∈Z.
12
b+csin B+sin C=, asin Aπ??由(1)知,f(x)=sin?2x-?,
6??π??又f(A)=1,得sin?2A-?=1, 6??ππ
∴2A-=2kπ+,k∈Z,
62π
又A∈(0,π),得A=,
3
2π
∵A+B+C=π,∴C=-B,代入上式化简得,
3
?2π?sin B+sin?-B?
b+c?3?
= asin A33
sin B+cos B22= sin A?π?3sin?B+?6???π?==2sin?B+?.
6?sin A?
π
又在锐角△ABC中,有0
22ππ0
32
ππππ2π∴
经典 则有3?π?
b+c≤2. a5.(2024·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=3sin C.
(1)若cosA=sinB+cosC+sin Asin B,求sin A+sin B的值; (2)若c=2,求△ABC面积的最大值. 解 (1)∵cosA=sinB+cosC+sin Asin B, ∴1-sinA =sinB+1-sinC+sin Asin B, ∴sinA +sinB-sinC=-sin Asin B, ∴由正弦定理,得a+b-c=-ab,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2+b2-c21∴由余弦定理,得cos C==-,
2ab2
2π
又0
3
2π3
∴sin A+sin B=3sin C=3sin =. 32(2)当c=2,a+b=3c=23,
a2+b2-c2?a+b?2-2ab-c24
∴cos C===-1,
2ab2abab∴sin C=1-cosC=11
∴S=absin C=ab22
21-?
?4-1?2=
??ab?
?4?28-??+, ab??
ab?4?281
-??+=-16+8ab. ?ab?ab2
∵a+b=23≥2ab,
即0
∴S=-16+8ab≤-16+8×3=2,
22∴△ABC面积的最大值为2.
(全国通用版)2024高考数学二轮复习 中档大题规范练(一)三角函数与解三角形 文



