年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2
? 抛物线方程为: y2?4x………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1…………………（2分）
对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1??22??1?1??4?2?22 ? a?1?2? a?1?2222??2?3?22? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1………………………………（4分）
对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2
? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于
D,E两点，DE中点为H
令A?x1,y1?, ? C?
?x1?3y1?,?………………………………………………（7分） 22??
? DC?112AP??x1?3??y1222
x1?31 CH??a??x1?2a??322222? DH?DC?CH?21?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2…………（12分）
2．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线
y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上.
??（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；
??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成b, n为偶数????n立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an?1?1??1??1???1???b1??b2??1??1???bn??ann?2?an?0成立，求
正数a的取值范围.
解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得
an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??…………………………………………（4分）
（Ⅱ）f?n?????n?5, ?n为奇数?………………………………（5分） ??2n?1, ?n为偶数? f?k?27??4f?k?当k为偶数时，k?27为奇数， 当k为奇数时，k?27为偶数，? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4……………………（8分）
35?舍去?2? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。
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