2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案一、选择题:1、【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由f??(x)的图形可知，曲线y?f(x)存在两个拐点，故选(C).2、【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】12x1x
e,?e为齐次方程的解，所以2、1为特征方程?2+a??b?0的根，从而23
a???1?2???3,b?1?2?2,再将特解y?xex代入方程y??3y??2y?cex得：c??1.
3、【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】因为?an条件收敛，故x?2为幂级数?an?x?1?的条件收敛点，进而得n?1
n?1
??
n
?a?x?1?n?1
n
?
n
的收敛半径为1，收敛区间为?0,2?，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故?nan?x?1?的收敛区间仍为?0,2?，因而x?3与x?3依次为幂级数?
n
n?1
??
na1?n
n?x?的收敛点、发散点.n?1
4、【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由y?x得，??
?4；由y?3x得，???3由2xy?1得，2r2
cos?sin??1,r?
1sin2?由4xy?1得，4r2
cos?sin??1,r?
12sin2??1所以??f(x,y)dxdy???3d?f(rcos?,rsin?)rdrD4?sin12?2sin2?5、【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★??1111??11
11
?
【详解】?A,b???
12ad?d?1?
???????01a?1
?14a2
d2????00
?a?1??a?2??d2???1??d???
Ax?b有无穷多解?R(A)?R(A,b)?3
?a?1或a?2且d?1或d?2
6、【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★?20【详解】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y12?y22?y32且：PT
AP???01??00?100?Q?P??001??200?
?PC,QTAQ?CT(PTAP)C??0?10???0?10????
???001??
0?0
??1???222TTT
f?xAx?y(QAA)y?2y?y?y123所以，故选(A)7、【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】?P(A)?P(AB),P(B)?P(AB)
?P(A)?P(B)?2P(AB)?P(AB)?
8、【答案】(D)【考点】【难易度】★★★【详解】22
E??X?X?Y?2????E??X?XY?2X???E?X??E?XY??2E?X
P(A)?P(B)
故选（C）
2
??D?X??E2?X??E?X?E?Y??2E?X??5
二、填空题：9、【答案】?
1
2
【考点】极限的计算【难易度】★★1?x2
lncosxln(1?cosx?1)cosx?12??1【详解】lim???limlimlimx?0x?0x?0x?0x2x2x2x22?2
10、【答案】4
【考点】积分的计算【难易度】★★【详解】?
?2?-2?2
sinx?(?x)dx?2?2xdx?
01?cosx411、【答案】-dx【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令F(x,y,z)?e?xyz?x?cosx?2，则Fx??yz?1?sinx，Fy??xz，Fz??xy，z
Fx??z?z又当x?0,y?1时，z?0，所以????1，?x(0,1)Fz??y(0,1)
Fy?
???0，因而Fz?
dz
(0,1)
??dx
1412、【答案】【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得????x?2y?3z?dxdydz?6???zdxdydz?6?0zdz??dxdyW
W
1
Dz其中Dz为平面z?z截空间区域W所得的截面，其面积为1
12?1?z?.所以21
12132
?2?x?2y?3zdxdydzzdxdydzz×1?zdz?zzzdz??6?63????????????0?0?W
W
2413、【答案】2
n?1
?2
【考点】行列式的计算【难易度】★★★【详解】按第一行展开得?2n?1?214、【答案】1
2【考点】【难易度】★★【详解】?(X,Y)~N(1,0,1,1,0)，?X~N(1,1),Y~N(0,1),且X,Y独立?X?1~N(0,1)，P?XY?Y?0??P?(X?1)Y?0?11111
?P?X?1?0,Y?0??P?X?1?0，Y?0??????
22222三、解答题：15、【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】★★★【详解】f(x)?x?aln(1?x)?bx×sinx
??x2x3x33?3??x?a?x?????x???bx?x????x??233!????a?a?
??1?a?x????b?x2?x3???x3?3?2??f(x)与g(x)?kx3是等价无穷小?
?1+a?0??a
????b?0 ?2?a
?k??3
16、【考点】微分方程【难易度】★★★【详解】如下图：?
?a??1?
1?
??b??
2?
1?k???3?
x?x0处的切线方程为l：y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
l与x轴的交点为：y?0时，x?x0?
因此，S?
f(x0)f(x0)
?x?x0，，则AB?
??f(x0)f(x0)
11f(x0)y?1
AB×f(x0)?f(x0)?4.即满足微分方程：2?，解得：22f?(x0)y8
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案
