圆锥曲线的解题方法

圆锥曲线的解题方法

　　导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

　　第一、圆锥曲线的解题方法：

　　一、求圆锥曲线方程

　　（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。

　　例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。求动点P的轨迹方程。

　　解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。

　　（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

　　上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。

　　（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。

　　例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。

　　解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。

　　例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。

　　解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。

　　二、圆锥曲线最值问题

　　（1）化为求二次函数的最值

　　根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

　　例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

　　解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。

　　（2）利用圆锥曲线性质求最值

　　先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。

　　例题：已知双曲线{C}的右焦点为F，有一点A（9，2）。试在双曲线上求一点M，使{C}的值最小。

　　解析：设点M到对应准线的距离为d，由双曲线的第二定义有d={C}，{C}》点A到点M对应准线的距离{C}（点A在对应准线上的投影为点A’）。所以当且仅当点M为AA’与双曲线右支的交点时，{C}的值最小。

　　（3）化为一元二次方程，用根的判别式求最值

　　将最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用根的判别式求未知量范围求解。

　　例题：直线y=x+9，椭圆C焦点为F1（—3，0），F2（3，0），求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。

　　解析：直线与椭圆有公共点，根据题意可联立方程组{C}

　　{C}，

　　由条件得{C}，所以椭圆的最短长轴为{C}。

　　（4）利用不等式求最值

　　列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值；②不等式的一边为常数；③等号能够成立。

　　例题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线{C}上移动，M为AB的中点，则M到y轴的最短距离。

　　解析：设点A{C}，点B{C}，{C}，

　　{C}，当且仅当{C}时取得最小值。所以{C}，点M到y轴距离最小值为{C}。

　　三、直线与圆锥曲线位置关系问题

　　直线与圆锥曲线的'位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判

　　别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

　　例题1：过点（2，4）作直线与抛物线{C}只有一个公共点，这样的直线有____条。

　　解析：由于点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，和抛物线交于一点的直线，故有2条。

　　例题2：直线y=kx+1与椭圆{C}恒有公共点，则m的取值范围是_____。

　　解析：直线与椭圆恒有公共点，所以联立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。

　　四、求参数的取值范围

　　与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法：

　　（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。

　　（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围。

　　例题：已知点A（2，0）和抛物线{C}上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C纵坐标的取值范围。

　　解析：由于B、C是抛物线上两个相关的点，所以可通过B点纵坐标的范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B{C}，点C{C}，{C}，{C}，

　　{C}，{C}，{C}，{C}，{C}。

　　解得{C}或{C}。

　　五、动点轨迹方程

　　（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系{C}；

　　如：已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求P点的轨迹方程。根据题意直接列式：{C}。

　　（2）待定系数法：已知所有曲线的类型，根据条件设出所求曲线的方程，再由已知条件确定其待定系数。

　　如：线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求此抛物线的方程。

　　（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

　　（4）代入转移法：动点{C}依赖于另一动点{C}的变化为变化，并且{C}又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示{C}，再将{C}代入已知曲线求得轨迹方程。

　　（5）参数法：当动点{C}坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得到参数方程，再消去参数得轨迹方程。

　　六、定点定值问题

　　在几何问题中，有些几何量和参数无关，从而构成定值问题，解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少，或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法：

　　（1）从特殊入手，求含变量定点定值，再证明这个定点定值与变量无关。

　　（2）直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点定值。

　　例题：过抛物线{C}的焦点F作直线l交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则{C}的值必等于_____。

　　解析：

　　①令直线与x轴垂直，则直线l：{C} {C}，{C}。

　　②设{C}，{C}且PM，QN分别垂直于准线于M，N。

　　{C}，{C}，{C}的焦点{C}，准线{C}，所以直线l：{C}，又因为直线l与抛物线相交，故联立方程组得：{C}，{C}，{C}

　　{C}，{C}，{C}。

　　第二、圆锥曲线的七种题型归纳：

　　（1）中点弦问题

　　（2）焦点三角形问题

　　（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

　　（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

　　（5）求曲线的方程问题

　　（6）存在两点关于直线对称问题

　　（7）两线段垂直问题

　　第三、圆锥曲线的八大解题方法：

　　1、定义法

　　2、韦达定理法

　　3、设而不求点差法

　　4、弦长公式法

　　5、数形结合法

　　6、参数法（点参数、K参数、角参数）

　　7、代入法中的顺序

　　8、充分利用曲线系方程法