系1 设并注意
的情况 ）.
若
，
（注意“ = ” ；
和
系2 设
(或
系3 若
或
. 则对(或
则对
绝对值收敛性见后. 4.
迫敛性 ( 双逼原理 ):
Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 ) 5. Th 3
绝对值收敛性:
( 注意反之不正确 ).
( 证 )
系 设数列{ }和{
}收敛, 则
( 证明用到以下6所述极限的运算性质 ).
6.
四则运算性质:
Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 ) 7. 子列收敛性: 子列概念.
Th 5(数列收敛充要条件) {}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.
Th 6 (数列收敛充要条件) {}收敛子列{}和{
}收敛于同一极限. }、{
}和{
Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) { ( 简证 )
二. 利用数列极限性质求极限: 两个基本极限：
}收敛
子列{
都收敛.
1．利用四则运算性质求极限： 例1
註： 关于 的有理分式当 例2 填空:
时的极限情况
⑴
⑵
例3
例4
2. 双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4]P53. 例5 求下列极限:
⑴
⑵
⑶
例6 (
例7 求证
例8 设
存在. 若 则
三. 利用子列性质证明数列发散:
例9 证明数列 发散.
§ 3 收敛条件（4学时）
教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：
1. 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；
2. 初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。
教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。 教学难点：相关定理的应用。
教学方法：讲练结合。
一．数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理：回顾单调有界数列. Th 1 ( 单调有界定理 ). ( 证 ) 例1 设
证明数列{
}收敛.
例2
调有界, 并求极限.
( 重根号),证明数列{
}单
例3 迭代法 ).
求
( 计算
的逐次逼近法, 亦即
解 由均值不等式, 有有下界;
注意到对 有
有 ↘,
二、 收敛的充要条件——Cauchy收敛准则： 1．Cauchy列： 2．Cauchy收敛准则： Th 2 数列{ （ 或数列{
收敛，
收敛，}
Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 )
例4 证明:任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列
收敛. 其中 是
中的数.
证 令 有
……
例5 设 试证明数列
{
收敛.
三. 关于极限
证明留在下节进行.
例6
例7
例8
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
