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第4节 反三角函数(2课时)
第1课时
[教材分析]:反三角函数的重点是概念,关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上,自然是定义和函数性质、图象;教学方法上,着重强调类比和比较。
另外,函数与反函数之间的关系,是本节内容中的一个难点,同时涉及上学期内容,可能是个值得复习的机会。
[课题引入]:在辅助角公式中,我们知道
其中cosasinxbcosxa2b2sinx,aab22,sinbab22,这样表述相当烦琐,我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢?这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]:
师:首先我们回顾一下,什么样的函数才有反函数?
答:一一对应的函数具有反函数,最典型的例子就是单调函数具有反函数(但反之不真)。师:我们知道正弦函数ysinx在定义域R上是周期函数,当然不是一一对应的,因而没有反函数。但是,如果我们截取其中的一个单调区间,比方说我们研究函数:
ysinx,x,,这个函数是单调函数,因而有反函数。
22师:现在我们来求这个函数的反函数,那么求反函数有哪些步骤?(反解,互换x,y)(这里我们使用符号arcsin表示反解)反解得xarcsiny,互换得yarcsinx,其中x1,1,y,,这就是要求的反正弦函数。
221. 反正弦函数的图象
反正弦函数yarcsinx,x1,1与函数ysinx,x个函数图象关于直线yx对称。2. 反正弦函数的性质(由函数图象可得)
因此两,互为反函数,22,1,值域为①定义域为1,; 22,1上单调递增; ②yarcsinx在定义域1xarcsinx ③yarcsinx是奇函数,即对任意x1,1,有arcsin3. 反正弦函数的恒等式
①由“一一对应”的性质知:对任意值x1,1,在,上都有唯一对应的角22arcsinx,使得它的正弦值为x,即得恒等式sinarcsinxx,x1,1;
②由“一一对应”的性质知:对任意角x在1,1上都有唯一对应的值sinx,,,22,。22sinxx,x使得它的反正弦值为x,即得恒等式arcsin例题选编:
[例1]:求下列反三角函数值:(1)arcsin31 ;(2)arcsin0(3)arcsin 22解:利用恒等式1来理解题意(1): 记arcsin33sinx3sinx,也就是在,上找xsinarcsin22222一个角x,使得sinx3;(2)(3)类似。2说明:对于特殊值的反正弦函数值的处理,利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法;但不知是否适合于初学者,有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧,实际上教材P98的思路有点类似于本文的处理方式。[例2]:用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x :(1)sinx3,x,,5221,x,,422(2)sinx(3)sinx3,x0, 3解:利用恒等式2来理解题意:
sinx(1)33sinxarcsin3,arcsin而x,,故有xarcsin;
555223sinxarcsin3,而xarcsin,,故不能直接利用恒3322(3)sinx等式2,需要利用诱导公式,将角度转化到,上,此时涉及讨论: 22若x0,33,则 arcsinsinxarcsinxarcsin332若x,,则x0,,故有 223sinxarcsin3xarcsin3 arcsin333sinxarcsinarcsin即xarcsin3。3[例3]:化简下列各式:
(1)arcsinsin(2)arcsinsin95sin3.49 (3)arcsin6解:此题直接利用恒等式2,当区间不满足要求时,需要利用诱导公式转化区间。(1),,由恒等式2得arcsinsin; 9229955转化了; arcsinsin,这里将6666(2)arcsinsinsin3.49arcsinsin0.49 sin30.49arcsin(3)arcsinsin0.490.49。arcsin[例4]:判断下列各式是否成立:(1)arcsin3312k,kZ ;(2)arcsin;(3)arcsin22332(4)arcsinarcsin;(5)sinarcsin22
3322(6)sinarcsin1010 解:(1)对;(2)错;(3)当k0时对;(4)错,[例5]:写出下列函数的定义域和值域:
(1)y2arcsinx;(2)yarcsinxx 解:(1)
31,1;(5)错;(6)对。
2x1,1x0,1,由反正弦函数的单调性知y0,(2)xx1,1x21515,,22这是典型的复合函数求值域问题,由ux2x1,1和反正弦函数的单调性可知: 41yarcsin,
42[例6]:求下列函数的反函数:(1)ysin2x,x, 443, 22(2)y2sinx,x(3)y21arcsinx 2sin2x2x,解:(1)反解得arcsinyarcsin(恒等式2的运用,注意区间)
互换x,y即得反函数为y1arcsinx 2sinxarcsinsinxx,互换x,y即得反函(2)反解得arcsinarcsin数为yarcsin。(3)
作业:P99 练习1、2、3
[课题总结]: [试题选编]: y2x2
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