4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)
内容要求 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．
知识点1
π
±α的诱导公式 2
对任意角α，有下列关系式成立：
ππ
sin(＋α)＝cos α，cos(＋α)＝－sin α.(1.13)
22ππ
sin(－α)＝cos α，cos(－α)＝sin α.(1.14)
22
ππ
诱导公式1.13～1.14的记忆：－α，＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，
22前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】
请你根据上述规律，完成下列等式．
33
sin(π－α)＝－cos_α，cos(π－α)＝－sin_α.
2233
sin(π＋α)＝－cos_α，cos(π＋α)＝sin_α.
22知识点2 诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．
(2)函数名改变，符号看象限
“函数名改变，符号看象限”指的是对于角
kπ
2
＋α，kπ
2
－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名
正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】
π
(1)cos(α－)＝________.
25π
(2)sin(α＋)＝________.
2
1 / 12
(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.
答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α
题型一 条件求值
π?3π2π?3π??【例1】 已知cos?α＋?＝，≤α≤，求sin?α＋?的值． 6?523?2??π?π2π?
解 ∵α＋＝?α＋?＋，
6?23?
π?π?π?32π???∴sin(α＋)＝sin??α＋?＋?＝cos?α＋?＝.
6?2?6?53???
规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之ππππ
间的联系，注意＋α与－α，－α与＋α等互余角关系的识别和应用．
6344π?3?π??【训练1】 已知sin?＋α?＝，求cos?α－?的值．
3??6?3?π??π?π????π?解 ∵cos?α－?＝cos?－α?＝cos?－?＋α??
3?????3??2?63?π?＝sin?＋α?＝.
?6?3
题型二 利用诱导公式化简和证明
cosπ－θ【例2】 求证：＋
3??cos θ?sinπ－θ－1?2??
2π－θ2
＝. 2
π3π1－cosθsin＋θ－sin＋θ22cos
cosπ＋θ－cos θcos θ证明 左边＝＋
cos θ－cos θ－1－cos θcos θ＋cos θ＝＝＝
11＋
1＋cos θ1－cos θ1－cos θ＋1＋cos θ 1＋cos θ1－cos θ2
＝右边， 2
1－cosθ所以原式得证．
2 / 12
规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
8π8π
【训练2】 设sin(α＋)＝acos(α＋)，
7715π13π
sin＋α＋3cosα－
77a＋3
求证：＝.
20π22πa＋1sin－α－cosα＋
778π8π
证明 ∵sin(α＋)＝acos(α＋)．
77
8π8π
sin[π＋α＋]＋3cos[α＋－3π]
77
∴左边＝
8π8π
sin[4π－α＋]－cos[2π＋α＋]
778π8π
－sinα＋－3cosα＋
77
＝
8π8π
－sinα＋－cosα＋
778π8π
－acosα＋－3cosα＋
77
＝
8π8π
－acosα＋－cosα＋
77＝
a＋3
＝右边． a＋1
∴原等式得证．
sinπ－α＋5cos2π－α【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
3π??2sin?－α?－sin－α?2?解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴
sinπ－α＋5 cos2π－α 3π?－α?－sin－α2sin??
?2?
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2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(二)学案北师大版必修4
