成立.
令g(x)?lnx?111?1?1， 则g?(x)??2??1??. 当x?1时，因为
xxx?x?xg?(x)?1?1??1???0， x?x?故g(x)是(1，??)上的增函数， 所以 g(x)的最小值是g(1)?1， 从而a的取值范围是(??，1]. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
1619.（Ⅰ）y??yi?80，可求得q?90．
6i?1$?（Ⅱ）b?xyi6i?nxy??xi?1i?162i?n(x)23050?6?6.5?8070????4，
271?253.517.5$?y?bx$?80?4?6.5?106， ay??4x?106． 所以所求的线性回归方程为$y??4x?106可得，当x1（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程$y2?86；当x3时，μy6?70． 时，μ?4时，μy1?90；当x2?5?6时，μy3?82；当x4?7时，μy4?78；当x5?8时，μy5?74；当x6?9yi?yi|?1与销售数据对比可知满足|μ（i?1,2，…，6）的共有3个“好数据”：(4,90)、(6,83)、
(8,75)．
设所求事件用A表示 ，则P(A)?1?P(A)?1?20．（本小题满分12分）
34?； （基本事件略） 155
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21． 解：（1）∵a1=1，Sn=nan (n∈N*) . ∴S1=a1=1; S2=1+a2=4a2,?a2?2
1，∴314?； 33141936S3=S2+a3=9a3, ?a3?，∴S3?S2?a3?????；S4=S3+a4=16a4,
636624S2?S1?a2?1??a4?131168，∴S4?S3?a4????； 10210105 ∴S1?1?分
2468,S2?,S3?,S4?.…………………………………………423452n.…………………………………………………………………6n?1 猜测：Sn?分
(2) 用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，猜测显然正确. ……………………………………………………7
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分
②假设当n=k时，猜测正确，即Sk?分
则当n=k+1时， 由Sk?kak?分
22k.……………………………………8k?12k2?k2ak?ak?……………………………9k?1k(k?1)Sk?1?Sk?ak?1?(k?1)2ak?1??ak?1?2
(k?1)(k?2)2k?ak?1?(k?1)2ak?1k?1
∴Sk?1?Sk?ak?1?2k22(k?1)2(k?1)???. k?1(k?1)(k?2)k?2(k?1)?1这就是说，当n=k+1时，猜测也是正确的。 由①、②知，对一切n n∈N*都有Sn?分
22．（1）解：由题意得f'?x??xex?a ①当a?0时，令f'2n.…………………………………12n?1???x??0，则x?0；令f'?x??0，则x?0，
∴f?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增； ②当a?0时，令f'?x??0，则x?0或x?lna，
'（ⅰ）当0?a?1时，令f?x??0，则x?lna或x?0；令f'?x??0，则lna?x?0，
∴f?x?在???,lna?和?0,???上单调递增，在?lna,0?上单调递减； （ⅱ）当a?1时，f'?x??x?ex?1??0，∴f?x?在R上单调递增；
'（ⅲ）当a?1时，令f?x??0，则x?0或x?lna；令f'?x??0，则0?x?lna，
∴f?x?在???,0?和?lna,???上单调递增，在?0,lna?上单调递减；
（2）由（1）得当0?a?1时，f?x?在???,lna?和?0,???上单调递增，在?lna,0?上单
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调递减，∴f?x?在x?lna处取得极大值f?lna?， ∵f?lna??a?lna?1??112aln2a??a??lna?1??1??0，∴此时不符合题意；
?22?当a?1时，f?x?在R上单调递增，∴此时不符合题意；
当a?1时，f?x?在???,0?和?lna,???上单调递增，在?0,lna?上单调递减； ∴f?x?的x?0处取得极大值f?0?，∵f?0???1?0，∴此时不符合题意； 当a?0时，f?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增， ∵f?0???1?0，f?1???1a?0，∴f?x?在?0,???上有一个零点， 2（ⅰ）当a?0时，令x0?minln??a?,?1?3，当x?x0时， ∵f?x???x?1?e?x??1211ax??a?x?1??ax2??a?x2?2x?2??0， 222∴f?x?在???,0?上有一个零点，∴此时符合题意； （ⅱ）当a?0时，当x?0时，f?x???x?1?e?0，
x∴f?x?在???,0?上没有零点，此时不符合题意； 综上所述，实数a的取值范围为???,0?.
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辽宁省2020学年高二数学下学期期中试题理
