专题2 函数与导数 第1讲 函数的图像与性质

函数的图象与性质

1．(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )

答案 D

解析 f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f(x)＝111

0，?时，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在?0，?上单调递2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈??4??4?4减，排除C，故选D.

2．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)111

x＋?＝f?x－?，则f(6)等于( ) ＝－f(x)；当x>时，f??2??2?2A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案 D

111

x＋?＝f?x－?，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．当x<0时，f(x)解析 当x>时，f??2??2?2＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.

3．(2016·上海)设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( ) A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 答案 D

解析 ①不成立，可举反例，

???2x，x≤1，

f(x)＝?g(x)＝?－x＋3， 0

?－x＋3，x>1，??

?2x＋3， x≤0，?2x，x≥1，

?－x，x≤0，?h(x)＝?

?2x，x>0.?

②f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T)， f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T)， g(x)＋h(x)＝g(x＋T)＋h(x＋T)，

前两式作差，可得g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T)， 结合第三式，可得g(x)＝g(x＋T)，h(x)＝h(x＋T)， 也有f(x)＝f(x＋T)． ∴②正确．故选D.

3??x－3x，x≤a，

4．(2016·北京)设函数f(x)＝?

?－2x，x＞a.?

(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；

(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)

3??x－3x，x≤0，

解析 (1)当a＝0时，f(x)＝?

?－2x，x＞0.?

若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．

由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0. 所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增；

在(－1,0]上单调递减，所以f(x)最大值为f(－1)＝2. 若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0. 所以f(x)的最大值为2.

(2)f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图．

由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.

当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞2. 所以a＜－1.