代入得 ， ，或 ， ，则
， ②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为 ，
联立 得， ，
由韦达定理得
，
，
∴ ∴
，
令1+4k2，t≥1，则 ，
∴ ，
又因函数
在[1，+∞）上是减函数， ， ∴
综上：m的最小值为5．
21．已知函数f（x）＝ex﹣ax2+（2﹣e）x﹣1，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝0．
（1）求a的值；
（2）证明：当x＞0时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）f（x）＝ex﹣ax2+（2﹣e）x﹣1的导数为f′（x）＝ex﹣2ax+2﹣e， 曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝0，
可得f（1）＝e﹣a+2﹣e﹣1＝0，且f′（1）＝e﹣2a+2﹣e＝0， 解得a＝1；
（2）证明：由（1）知f（x）＝ex﹣x2+（2﹣e）x﹣1，
∴f′（x）＝ex﹣2x+2﹣e，令函数φ（x）＝f′（x），则φ′（x）＝ex﹣2， 当0＜x＜ln2时，φ′（x）＜0，f′（x）单调递减； 当x＞ln2时，φ′（x）＞0，f′（x）单调递增，
又f′（0）＝3﹣e＞0，f′（1）＝0，0＜ln2＜1，f′（ln2）＜0， 所以，存在x0∈（0，1），使得f′（x）＝0， 当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（x0，1），f′（x）＜0，
故f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 又f（0）＝f（1）＝0，
∴f（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，
当且仅当x＝1时取等号．故当x＞0时，f（x）≥0．
选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）
22．曲线C的极坐标方程为ρ＝4 cos（θ ），直线l经过点P（ ，﹣1），倾斜角α ． （1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）若M为曲线C上的一个动点，当M到l的距离最大时，求点M的坐标． 【解答】解：（1）C的极坐标方程为ρ＝4 cos（θ ），转换为直角坐标方程为 ，
直线l经过点P（ ，﹣1），倾斜角α ．直线l的参数方程为：
t（
为参数）．
（2）M为曲线C上的一个动点，设M（ ， ）， 由题意知直线l的一般方程为 ．
所以点M到直线l的距离 ，
当 时，距离的最大值为2 ，即 ， 点M（ ， ）． 23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|． （1）求不等式f（x）﹣x﹣3≤0的解集；
（2）设函数g（x）＝f（x）﹣2|x+2|，若存在x使g（x）≥λ2﹣2λ成立，求实数λ的取值范围．
， ＞
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|x+2| ， ，
， ＜
∵f（x）﹣x﹣3≤0，∴ 或 或 ，
＞ ＜
∴1＜x≤2或0≤x≤1或x∈?，∴0≤x≤2， ∴不等式的解集为[0，2]；
（2）由存在x使g（x）≥λ2﹣2λ成立，得 ， 又g（x）＝f（x）﹣2|x+2|＝|x﹣1|﹣|x+2|≤3， ∴λ2﹣2λ≤3，即λ2﹣2λ﹣3≤0，
∴﹣1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[﹣1，3]．
2019-2020学年云南省曲靖市陆良县高三（上）第一次摸底数学试卷试题及答案（理科）（9月份）
