故选：B．
12．已知f（x）是奇函数，且对任意0.83），则（ ） A．b＜a＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
＞0．设a＝f（），b＝f（log37），c＝f（﹣
D．a＜c＜b
【解答】解：根据题意，f（x）对于任意的x1、x2，满足在R上为增函数，
又由﹣0.8＜0＜ log3 log3 ＜log37，
3
＞0，则函数f（x）
则c＜a＜b； 故选：B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）
13．已知向量 ， ， ， ，且 ，则x＝ 12 ． 【解答】解：∵ ， ∴ ? 12﹣x＝0，解得x＝12． 故答案为：12．
14．已知函数 ，若f（a）＝2019，则f（﹣a）＝ 2019 ． 【解答】解：依题意，显然f（x）的定义域为R， 又f（﹣x）＝（﹣x）
3
? 3＝（﹣x）? 3
3＝（﹣x3）
3 3＝f（x）， ∴f（x）为R上的偶函数， 所以f（﹣a）＝f（a）＝2019． 故答案为：2019．
15．已知抛物线y＝4x与双曲线
2
＞ ， ＞ 的一条渐近线的交点为M，F为
抛物线的焦点，若|MF|＝3，则该双曲线的离心率为 ． 【解答】解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|＝m+1＝3， ∴m＝2，∴n2＝4×2，∴n＝±2 ，
将点M（2，±2 ）代入双曲线的渐近线方程y＝±x，
∴
，∴
2，
∴e ． 故答案为： ．
16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 ．且b＝1，则a+c的取值范围为 （ ，2]
【解答】解：∵ ，
∴cosB（cosC sinC）＝cos（B+C）＝cosBcosC﹣sinBsinC，可得：sinBsinC sinCcosB， ∵sinC≠0， ∴可得：tanB ， ∴由B为锐角，可得B ，
∵由正弦定理
，b＝1，
∴a+c
（sinA+sinC） [sinA+sin（ A）] （cosA sinA）＝2sin（A ），
∵ ∈ ， ，可得：A∈（，），
∴A ∈（，
∈ ，
），可得：sin（A ）∈（
，1]，
∴a+c＝2sin（A ）∈（ ，2]． 故答案为：（ ，2]．
三、解答题：（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.） 17．已知正项等比数列{an}满足S3﹣S1＝12，2S2+S1＝14． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设正项等比数列{an}的公比为q＞0． ∵S3﹣S1＝12，2S2+S1＝14． ∴a1（q+q2）＝12，3a1+2a1q＝14， 联立解得：q＝2＝a1． ∴an＝2n．
（2） （ ）
∴数列{bn}的前n项和Tn （1
） （1 ） ．
18．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．
在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：
普查对象类别 企事业单位 个体经营户 合计 顺利 40 100 140 不顺利 10 50 60 合计 50 150 200 （1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位，3家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X，写出X的分布列，并求X的期望值．
附：K 2
P（K2≥k0） k0 0.10 2.706 0.010 6.635 0.001 10.828 【解答】解：（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）．…（2分） （2）将列联表中的数据代入公式计算得
K 3.175＞2.706，
2
所以，有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．…（6分）
（3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记 顺利的概率为，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．
X可取0，1，2，3，4． P（X＝0）
（）3 ，
3 2 1
P（X＝1） （） C3 （） ，
P（X＝2） C31 （）2 C32×（）2 ，
P（X＝3）
C32×（）2 （）3 ，
P（X＝4） （）3 ． X的分布列为：
X P E（X）＝0
0 1 2 3 4
1 2 3 4 ．… 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点． （1）求证：CD⊥平面AA1B1B； （2）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．
【解答】解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1⊥底面ABC，CD?平面ABC， 所以AA1⊥CD．又△ABC为等边三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AD． 因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1B1B．
（2）解：取A1B1中点F，连结DF，则因为D，F分别为AB，A1B1的中点， 所以DF⊥AB．由（1）知CD⊥AB，CD⊥DF，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz， 由题意得A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0， ），A1（1，3，0），B1（﹣1，3，0），C1（0，3， ），
D（0，0，0），E（ ， ， ）， （ ， ， ）， （﹣2，3，0），
设平面AB1E的法向量 （x，y，z）， （ ，0，）， （﹣2，3，0），
则 ，令x＝1，则 （1，， ）．
平面BAE法向量 （0，3，0）． 因为cos＜ ， ＞
，
．
由题意知二面角B﹣AE﹣B1为锐角，所以它的余弦值为
20．已知椭圆 ：
（a＞b＞0）的左右焦点分别为F，F，离心率为，椭圆C12
上的一点P到F1，F2的距离之和等于4． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P（3，0），过椭圆C的右焦点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足 ? m恒成立，求m的最小值．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由题意可得， ，解得 ，
∴椭圆C的标准方程为：
；
（2）由（1）可知 ， ， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则
， ， ， ，
∴ x1x2+y1y2﹣3（x1+x2）+9， ①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为 ，得 ，
2019-2020学年云南省曲靖市陆良县高三（上）第一次摸底数学试卷试题及答案（理科）（9月份）
