15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
第15题图
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.
(1)求证：BD⊥平面PAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，
求证：AB1⊥A1M．
18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.
(1)求证：NP⊥平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角. (3)求点C到平面D′MB的距离.
第18题图
第4课 线面垂直习题解答
1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知.
3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.
4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.
5.A依题意,m⊥γ且m?α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l?γ,而m⊥γ则l⊥m,故选A. 6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=AC2?BC2?5，CD?AC?BC2?， AB5∴PD=PC2?CD2?1?435?. 557.D 由定理及性质知三个命题均正确.
8.A 显然α与β不平行.
9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. 10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m
3cm2 设正三角A′B′C′的边长为a. 2２
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4， 又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．
11.
323?a?cm2． 4212.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
S△A′B′C′=
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB. 14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心, ∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC, ∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角， ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD, ∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN， 则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝
11CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形. 22∴MN∥AE.
∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥AE，即AB⊥MN. 又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA＝45°，E为PD的中点.
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD， ∴MN⊥平面PCD.
16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°， 故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×12＝12. 又AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，∴PB2
＝PD2
+BD2
，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D， ∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD. ∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E， 又PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角. ∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝3?32?32. 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF， ∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角. 又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，
3tan∠PFE＝PE?23EF23?4. 故二面角P—BC—A的大小为arctan
34. 第15题图解
第16题图解
17.连结AC1，∵
AC?MC1362?2?CC1. C1A1∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1， ∴∠AC1C=∠MA1C1，
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°. ∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M. 由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．
18.(1)证明：在正方形ABCD中， ∵△MPD∽△CPB，且MD＝
1BC， 2∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2. 又已知D′N∶NB＝1∶2，
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD， ∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′，
∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱. 又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM， ∴∠MCD为该二面角的平面角. 在Rt△MCD中可知 ∠MCD＝arctan
1，即为所求二面角的大小. 2a262a，设所求距离为(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝
24h，即为三棱锥C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为S1?DD??∴h?131S2h， 3S1?a6?a. S23
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
