线面垂直
●知识点
1.直线和平面垂直定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
●题型示例
【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.
【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，
∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平
例1题图
面SBC的证明.
【规范解答】
【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c?b⊥c;(2)a⊥α,b?α?a⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.
由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.
【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.
所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.
【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.
例3题图解(1)
【解前点津】 题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.
【解后归纳】 证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.
利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.
证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.
【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 .
【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6, AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3, ∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为
2HD2?AH2?(6?3)2?42?97
例4题图
【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.
●对应训练 分阶提升 一、基础夯实
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①
a//b?a?M?a?M?a//M???b?M ②??a//b ③??b∥M ④??b⊥M. a?M?b?M?a?b?a?b?其中正确的命题是 ( )
A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )
第3题图
A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C.
2535 D. 557.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合 B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合 C.α与β必相交且交线m与d一定不平行 D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α， 其中真命题的序号是 ( ) ．．．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②
二、思维激活
11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .
第11题图
第12题图
第13题图
12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高. (1)求证:VC⊥AB;
(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC 所成角的大小.
第14题图
高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
