抽象函数的单调性和奇偶性

抽象函数的单调性和奇偶性

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：

一、判断单调性和奇偶性

1. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

y 么f(x)在区间[?7，?3]上是

5 A. 增函数且最小值为?5 B. 增函数且最大值为?5 O C. 减函数且最小值为?5 D. 减函数且最大值为?5 -7 -3 3 7 x 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 -5 例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那例2．偶函数f(x)在(0，??)上是减函数，问f(x)在(??，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图所示，易知f(x)在(??，0)上是增函数，证明如下： 任取x1?x2?0??x1??x2?0 因为f(x)在(0，??)上是减函数，所以

f(?x1)?f(?x2)。

又f(x)是偶函数，所以

f(?x1)?f(x1)，f(?x2)?f(x2)，

从而f(x1)?f(x2)，故f(x)在(??，0)上是增函数。 2. 判断奇偶性

y O x 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(?x)的关系。

例3．若函数y?f(x)(f(x)?0)与y??f(x)的图象关于原点对称，判断：函数

y?f(x)是什么函数。

1

解：设y?f(x)图象上任意一点为P（x0，y0） ?y?f(x)与y??f(x)的图象关于原点对称，

?P(x0，y0)关于原点的对称点(?x0，?y0)在y??f(x)的图象上，

??y0??f(?x0)

?y0?f(?x0) 又y0?f(x0) ?f(?x0)?f(x0)

即对于函数定义域上的任意x都有f(?x)?f(x)，所以y?f(x)是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性

1.证明单调性 例4．已知函数f(x)=

g(x)?1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是

g(x)?1增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证： f(x)是R上的增函数 解:设x1>x2

? g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0 ? g(x) > g(x) >0 ?g(x)+1 > g(x)+1 >0

1

2

1

2

???

22 > >0

g(x2)?1g(x1)?122 - >0

g(x2)?1g(x1)?1f(x1)- f(x2)=

g(x1)?1g(x2)?122- =1--(1-)

g(x1)?1g(x2)?1g(x1)?1g(x2)?1 =

22->0

g(x2)?1g(x1)?12

? f(x) >f(x)

1

2

? f(x)是R上的增函数

例5．已知f(x)对一切x，y，满足f(0)?0，f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，

f(x)?1，求证：（1）x?0时，0?f(x)?1；（2）f(x)在R上为减函数。

证明：?对一切x，y?R有f(x?y)?f(x)?f(y)。 且f(0)?0，令x?y?0，得f(0)?1， 现设x?0，则?x?0，f(?x)?1， 而f(0)?f(x)?f(?x)?1

?f(?x)?1?1 f(x) ?0?f(x)?1， 设x1，x2?R且x1?x2， 则0?f(x2?x1)?1， f(x2)?f[(x2?x1)?x1] ?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1) ?f(x1)?f(x2)， 即f(x)为减函数。 2.证明奇偶性

例6．已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(xy)?f(x)?f(y)，求证：f(x)是偶函数。

分析：在f(xy)?f(x)?f(y)中，令x?y?1， 得f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0

令x?y??1，得f(1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0 于是f(?x)?f(?1?x)?f(?1)?f(x)?f(x)

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