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函数与导数
12 导数及其应用 导数的概念及运算
【考点讲解】
一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
y?x，2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y?c，y?x，y?
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的导数； x
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】
(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由f'(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平
?x均变化率的极限.
2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
原函数 f(x)＝c(c为常数) 导函数 f′(x)＝0 f?x??xn?n?Q? f?x??sinx f?x??cosx f??x??nxn?1 f??x??cosx f??x???sinx f??x??axlna f?x??ax 精品文档666 1）基本初等函数的导数公式
2）导数的运算法则
f?x??ex f??x??ex f??x??1 xlna1f??x?? xf?x??logax f?x??lnx （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（和或差的导数是导数的和与差）
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）??f(x)?f'(x)?g(x)?g'(x)?f(x)(g(x)≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方'??2g(x)?g(x)?的商）
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
3．函数y?f(x)在x?x0处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
【温馨提示】1.求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k?f'(x0)，故当f'(x0)存在时，切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).
精品文档666 2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y?f(x)在x?x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数y?f(x)在x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y?y0?f'(x0)(x?x0)；如果曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x?x0. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
【真题分析】
1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线y?ae?xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（ ） A．a?e，b??1
B．a=e，b=1 C．a?e?1，b?1
D．a?e?1，b??1
x【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考
x题型.∵y??ae?lnx?1,∴切线的斜率k?y?|x?1?ae?1?2，?a?e?1，
将(1,1)代入y?2x?b，得2?b?1,b??1.故选D． 【答案】D
2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（ ）
A．x?y???1?0 C．2x?y?2??1?0
B．2x?y?2??1?0 D．x?y???1?0
【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
2020年高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)
