第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.
真 题 感 悟
1.(2024·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终2
边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝3，则|a－b|＝( ) 1A.5
5B.5
25C.5
D.1
230
解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cosα－1＝3，所以cos α＝6，sin α＝
2
?a－b?655
?，所以|a－b|＝. ±6，得|tan α|＝5.由题意知|tan α|＝?
5?1－2?答案 B
?π?2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos?x＋3?，则下列结论错误的是( )
??A.f(x)的一个周期为－2π
8π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称 π
C.f(x＋π)的一个零点为x＝6 ?π?
D.f(x)在?2，π?单调递减
??
解析 A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.
π8π
B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－3(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝3是其对称轴，B项正确.
π3ππ?4π??7π?
C项，f(x＋π)＝cos?x＋3?，将x＝代入得到f?6?＝cos＝0，所以x＝是f(x
626????＋π)的一个零点，C项正确.
π2π??π??
x＋2kπ－，2kπ＋???D项，因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间33??3???
2π5π???π2π??2π?
为?2kπ＋3，2kπ＋3? (k∈Z)，所以?2，3?是减区间，?3，π?是增区间，D项??????错误. 答案 D
3.(2024·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析 易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3
cos 2x＋135
＋1＝cos 2x＋222，则
f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值
为4. 答案 B
4.(2024·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) πA.4
πB.2
3πC.4
D.π
?π?解析 f(x)＝cos x－sin x＝2cos?x＋4?，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递
??
ππ3π
减，则由0≤x＋4≤π，得－4≤x≤4.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以
π
－a≥－??4，πππ
解得a≤4，所以0 ??a≤4，答案 A 考 点 整 合 1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 递增 区间 递减 区间 奇偶性 对称 中心 对称轴 周期性 ππ??2kπ－，2kπ＋? 22???π3π???2kπ＋2，2kπ＋2? ??奇函数 (kπ，0) πx＝kπ＋2 2π [2kπ－π，2kπ] ππ??kπ－，kπ＋? 22??? 奇函数 ?kπ??2，0? ?? π [2kπ，2kπ＋π] 偶函数 π???kπ＋2，0? ??x＝kπ 2π 2.三角函数的常用结论
高三数学：专题一三角函数与解三角形-第1讲-三角函数的图象与性质
