第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.
真 题 感 悟
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终2
边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=3,则|a-b|=( ) 1A.5
5B.5
25C.5
D.1
230
解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cosα-1=3,所以cos α=6,sin α=
2
?a-b?655
?,所以|a-b|=. ±6,得|tan α|=5.由题意知|tan α|=?
5?1-2?答案 B
?π?2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos?x+3?,则下列结论错误的是( )
??A.f(x)的一个周期为-2π
8π
B.y=f(x)的图象关于直线x=3对称 π
C.f(x+π)的一个零点为x=6 ?π?
D.f(x)在?2,π?单调递减
??
解析 A项,因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.
π8π
B项,因为f(x)图象的对称轴为直线x=kπ-3(k∈Z),当k=3时,直线x=3是其对称轴,B项正确.
π3ππ?4π??7π?
C项,f(x+π)=cos?x+3?,将x=代入得到f?6?=cos=0,所以x=是f(x
626????+π)的一个零点,C项正确.
π2π??π??
x+2kπ-,2kπ+???D项,因为f(x)=cos的递减区间为 (k∈Z),递增区间33??3???
2π5π???π2π??2π?
为?2kπ+3,2kπ+3? (k∈Z),所以?2,3?是减区间,?3,π?是增区间,D项??????错误. 答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析 易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3
cos 2x+135
+1=cos 2x+222,则
f(x)的最小正周期为π,当2x=2kπ,即x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值
为4. 答案 B
4.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( ) πA.4
πB.2
3πC.4
D.π
?π?解析 f(x)=cos x-sin x=2cos?x+4?,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递
??
ππ3π
减,则由0≤x+4≤π,得-4≤x≤4.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以
π
-a≥-??4,πππ
高三数学:专题一三角函数与解三角形-第1讲-三角函数的图象与性质
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