圆锥曲线联立及韦达定理
1、圆锥曲线与直线的关系
椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定：
x2y2椭圆：2?2?1(afbf0)
abx2y2双曲线：2?2?1(a、bf0)
ab直线：y?kx?m
(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)
（1）椭圆与双曲线联立：
1k222kmm2(2?2)x?2x?2?1?0 abbb (PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了) 类一元二次方程：Ax?Bx?C?0
21k2A?(2?2)，所以Af0，即方程为一元二次方程。
ab判别式：??B?4AC
22km21k2m2??(2)?4(2?2)(2?1)
babb1k2m2化解得：??4(2?2?22)
abab1) 当?p0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；
2) 当??0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；
（相切是因为重根，而不是只有一个根）
3) 当?f0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.
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（2）双曲线与直线联立：
1k222kmm2(2?2)x?2x?2?1?0 abbb1k22km类一元二次方程中，A?(2?2)，B?(?2)
abb1k2m2??4(2?2?22)
abab1) 当A?0,B?0时，方程为?1?0，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）
2) 当A?0,B?0时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线
的平行线）
3) 当A?0,?p0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离； 4) 当A?0,??0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切； 5) 当A?0,?f0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.
PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！
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2、联立方程与韦达定理
（1）韦达定理：
Ax2?Bx?C?0运用韦达定理的前提：A?0,??0
x1?x2??
?BC2， x1x2?， x1?x2?(x1?x2)?4x1x2? AAA（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理：
1k222kmm2(2?2)x?2x?2?1?0 abbb2km2b； x1?x2?1k2?22abm2?12x1x2?b； 21k?a2b2?1k2m222?2?22abab
x1?x2?1k2?a2b2由y?kx?m可得到关于y的韦达定理：
y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k(x1?x2)?2m
2k2m1k2?2?2m(2?2)bab ?21k?a2b22m2a； y1?y2?1k2?a2b2y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2y1y2?km(x1?x2)?m2
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m22kmk221k(2?1)?km(?2)?m(2?2)bbab ?21k?a2b2m22?k2ay1y2?； 1k2?a2b22y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1?x2
1k2m22k2?2?22abab；
y1?y2?1k2?a2b2
（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：
1k222kmm2(2?2)x?2x?2?1?0 abbb2km2b； x1?x2?1k2?22abm2?2?1x1x2?b2；
1k?a2b21k2m222?2?22abab
x1?x2?1k2?a2b2由y?kx?m可得到关于y的韦达定理：
y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?k(x1?x2)?2m
2k2m1k2?2m(2?2)2ab ?b1k2?a2b24
2m2a； y1?y2?21k?22aby1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2y1y2?km(x1?x2)?m2
m22kmk221k(?2?1)?km(2)?m(2?2)bbab ?21k?a2b2m2?k22y1y2?a；
1k2?a2b22y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1?x2
1k2m22k2?2?22abab；
y1?y2?1k2?a2b2
PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带b项变号。
2x2y222222?1afcb?a?c原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是2?2。椭圆中，令；双曲线中2aa?ca2pc2，令?b2?a2?c2。
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圆锥曲线联立及韦达定理教学文案
