第五章 静 电 场
5 －9 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1)在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为
E?1Q
πε04r2?L2(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
E?1Q 222πε0r4r?L若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.
分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为
dE?整个带电体在点P的电场强度
1dqer
4πε0r?2E??dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分.
(1)若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，
E??dEi
L(2)若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是
E??dEyj??sinαdEj
L证 (1)延长线上一点P的电场强度E?则
dq利用几何关系 r′＝r－x统一积分变量，?L2πε0r?2，
EP??1QdxQ?11?1Q电场强度的方向???22??-L/24πεL?r?x?24πεLr?L/2r?L/2πε4r?L?00?0L/2沿x轴.
(2)根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E的方向沿y轴，大小为
E??2sinαdqdE
L4πεr?202利用几何关系 sin α＝r/r′，r??r?x统一积分变量，则
E??1rQdx22-L/24πε0Lx?rL/2??2/3?Q1
2πε0r4r2?L2当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度
E?liml??1Q/L2πε0r1?4r2/L2 ?λ2πε0r
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r2/L2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.
5 －14 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.
分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即Φs?E?dS
S?方法2：作半径为R的平面S′与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?E?dS?S1?q?0 ε0这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量.因而
Φ??E?dS???E?dS
SS?解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
Φ??E?dS???E?dS
SS?依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
Φ??E?πR2?cosπ?πR2E
解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①
E?E?cose?sincosθeθ?sinθsiner?
dS?R2sinθdθder
Φ??E?dS??ER2sin2θsindθdSS??ERsinθdθ?sind00π22π
?πR2E5 －17 设在半径为R的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为
?0?r?R?ρ?kr
?r?R?ρ?0 k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系.
分析 通常有两种处理方法：(1)利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称
分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度
电磁学课后习题答案
