函 数
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A?B．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数
x的集合分别记做
[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．
注意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a?b． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①f(x)是整式时，定义域是全体实数．
②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y?tanx中，x?k???2(k?Z)．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x2二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，当a>0时，值域为{y|y?(4ac?b)}；
4a2当a<0时，值域为{y|y?(4ac?b)} 4a②配方法：
③判别式法：若函数y?f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次a(y)x?b(y)x?c(y)?0，
2则在a(y)?0时，由于x,y为实数，故必须有??b(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函数的值域或最
2值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．转化成型如：y?x?不等式公式来求值域；
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之
间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念
①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:A?B．
②给定一个集合A到集合B的映射，且a?A,b?B．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象． （7）求函数解析式的题型有：
1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；3）已知函数图像，求函数解析式；4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 k(k?0)，利用平均值x〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x< 1．．．x时，都有．f(x)
③对于复合函数y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为增，
y
u?g(x)为减，则
y?f[g(x)]为减；若y?f(u)为减，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为减．
（2）打“√”函数f(x)?x?a(a?0)的图象与性质 xo
x
f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在
[?a,0)、(0,a]上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于
任意的x?I，都有
f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M．那么，我们称M是函数f(x) 的最大值，记作
fmax(x)?M．
②一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x?I，都有
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