自动控制原理考试试题第七章习题及答案
第七章 非线性控制系统分析
练习题及答案
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
???x?x3 x试确定系统有几个平衡状态,分析平衡状态的稳定性,并画出系统的相轨迹。
? 解 令x?0 得
?x?x3?x(x2?1)?x(x?1)(x?1)?0
系统平衡状态
xe?0,?1,?1
其中:xe?0 :稳定的平衡状态;
xe??1,?1 :不稳定平衡状态。
计算列表,画出相轨迹如图解7-1所示。
x -2 -1 ?13 0 13 1 2 ? x -6 0 0、385 0 -0、385 0 6 ? ? 11 2 0 x 1 0 2 11 图解7-1 系统相轨迹
可见:当x(0)?1时,系统最终收敛到稳
定的平衡状态;当x(0)?1时,系统发散;x(0)??1时,x(t)???; x(0)?1时,x(t)??。
?~x平面上任意分布。 注:系统为一阶,故其相轨迹只有一条,不可能在整个x 7-2 试确定下列方程的奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。
?? (1) ?x?x?x?0
(2) ???x1?x1?x2
?2?2x1?x2?x 解 (1) 系统方程为 ???x?x?x?0(x?0)??:?
??x?x?x?0(x?0)???:?令&&&x?x?0,得平衡点:xe?0。
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系统特征方程及特征根:
? ???:s2?s?1?0,s1j31,2???(稳定的焦点)
?22???:s2?s?1?0,s1,2??1.618,?0.618(鞍点)?x??f(x,x?)??x??x,dx?x?? dx??x?x??dx?dx??1?x
x?,x???11??x??x????1?1 ??I:??(x?0)
???II:??1??1(x?0)计算列表 ? -∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞ x?0:???1?1? -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1 x?0:???1?1? -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(a)所示。
图解7-2(a)系统相平面图
(2) x?1?x1?x2 ①
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② ?x2?2x1?x2?由式①: x2?x1?x1 ③ ???式③代入②: (?x1?x1)?2x1?(x1?x1)
??即 ?x1?2x1?x1?0 ④ ??令 ?x1?x1?0
得平衡点: xe?0 由式④得特征方程及特征根为 s2?2s?1?0画相轨迹,由④式
?1,2???2.414(鞍点)
??0.414?dx1???x1??2x1?x1 dxx1? x ?1??2?? ?x1?x1 计算列表
? ?=1/(?-2) 2 ∞ 2、5 2 3 1 ∞ 0 1 -1 1、5 -2 2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(b)所示。
?x?sinx?0,试确定奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相7-3 已知系统运动方程为 ?平面图。
??x?x?0 得 解 求平衡点,令?sinx?0
平衡点 xe?k?(k?0,?1,?2,?)。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数,取线性项。
?设 F(x)??x?sinx?0
?F?F???x????x?x??xe?x?0
xe? ??x?cosxe??x?0
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??x??x?0????x??x?0???xe?k?xe?k?(k?0,?2,?4,?)(k??1,?3,?5,?)
特征方程及特征根: k为偶数时 s2?1?0 k为奇数时 s2?1?0 用等倾斜线法作相平面
?1,2??j (中心点) ?1,2??1 (鞍点)
?dx??sinx?x?x???sinx?0dx 1?x?sinx? ? -1/? -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 1/2 1 2 4 ∞ -4 -2 -1 -1/2 作出系统相平面图如图解7-3所示。
7-4 若非线性系统的微分方程为
??? (1) ?x?(3x?0.5)x?x?x2?0 ??x?xx?x?0 (2) ?试求系统的奇点,并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解(1) 由原方程得
2?????? ?x?f(x,x)??(3x?0.5)x?x?x2??3x?0.5x?x?x2
??令 ?x1?x1?0
2得 x?x?x(x?1)?0
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解出奇点 xe?0,在xe?0处:
?1
在奇点处线性化处理。
??x?
???f(x,x)?f(x,x)??x??xx?0x?0?xx??xx??0?0
????(?1?2x)x?x??x?(?6x?0.5)x?x??x??x?0.5x?0?0??x?0.5x?x?0 即 ?特征方程及特征根
0.5?0.52?4 s1,2??0.25?j0.984 (不稳定的焦点)
2 在xe??1处 ??x?(?1?2x)x??1?x?0??x?(?6x?0.5)x??1?x?0 ??x?0.5x??x??x?0.5x?x?0 即 ?特征根 s1,20.5?0.52?4?1.218 (鞍点) ???2??0.718概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4(1)所示:
(2) 由原方程
??? ?x?f(x,x)??xx?x
??x?x?0 得奇点 xe?0,在奇点处线性化 令 ?
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