高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)椭圆教学
案
[知识能否忆起]
1.椭圆的定义
平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫做椭圆的焦距.
2.椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a>2c,a=b+c,a>0,b>0,c>0 222图形 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率 通径 [小题能否全取]
x2y2+=1(a>b>0) a2b2|x|≤a;|y|≤b 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b) (±c,0) y2x2+=1(a>b>0) a2b2|x|≤b;|y|≤a 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0) (0,±c) |F1F2|=2c(c=a-b) 222ce=∈(0,1),其中c=a2-b2 a2b过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 2a1.(教材习题改编)设P是椭圆+=1的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|
49+|PF2|等于( )
A.4 B.8 C.6 D.18
x2y2
1
解析:选C 依定义知|PF1|+|PF2|=2a=6. 2.(教材习题改编)方程
+=1表示椭圆,则m的范围是( ) 5-mm+3
x2y2
A.(-3,5) B.(-5,3)
C.(-3,1)∪(1,5) D.(-5,1)∪(1,3) 5-m>0,??
解析:选C 由方程表示椭圆知?m+3>0,
??5-m≠m+3,解得-3<m<5且m≠1.
4
3.(2012·淮南五校联考)椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )
94+k5A.-21 B.21 1919
C.-或21 D.或21
2525
解析:选C 若a=9,b=4+k,则c=5-k,
2
2
x2y2
c45-k419由=,即=,得k=-; a53525
若a=4+k,b=9,则c=k-5,
2
2
c4k-54由=,即=,解得k=21. a54+k5
1
4.(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为
28.则该椭圆的方程是________.
解析:∵2c=8,∴c=4,
c41
∴e===,故a=8.
aa2
又∵b=a-c=48,∴椭圆的方程为+=1.
6448答案:+=1
6448
5.已知F1,F2是椭圆C的左,右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2
=30°,则椭圆的离心率为________.
解析:在三角形PF1F2中,由正弦定理得 sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1=
π, 2
2
2
2
y2x2
y2x2
设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|=3,
2
2c3
所以离心率e==.
2a3答案:
3 3
1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1,F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.
2.已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断,当焦点位置不明确时,要分两种情形讨论.
椭圆的定义及标准方程
典题导入
x2y2322[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x-yab2
=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.+=1 B.+=1
82126C.
+=1 D.+=1 164205
3
, 2
x2y2x2
x2y2
y2x2y2
[自主解答] ∵椭圆的离心率为
ca2-b23∴==,∴a=2b. aa2
故椭圆方程为x+4y=4b.
∵双曲线x-y=1的渐近线方程为x±y=0,
∴渐近线x±y=0与椭圆x+4y=4b在第一象限的交点为?∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为即a=4b=20.
2
2
2
2
2
2
22
2
2
?2525?
b,b?,
5??5
2525
b×b=4,∴b2=5,55
3
故椭圆C的方程为+=1.
205[答案] D
本例中条件“双曲线x-y=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x+y-2x-15=0的半径”问题不变.
解:∵x+y-2x-15=0,
∴(x-1)+y=16,∴r=4,即2a=4,a=2. 又=
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
ca3
,∴c=3, 2
∴b=1,故椭圆方程为+y=1.
4
由题悟法
1.解决与到焦点的距离有关的问题时,首先要考虑用定义来解题. 2.椭圆方程的求法多用待定系数法,其步骤为: (1)定标准;(2)设方程;(3)找关系;(4)得方程.
x2
2
x2y222
3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为+=1(m>0,n>0,m≠n),也可设为Ax+Bymn=1(A>0,B>0,且A≠B).
以题试法
1.(2012·张家界模拟)椭圆+y=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线
4与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=( )
73A.B. 22C.3D.4
解析:选A 因为a=4,b=1,所以a=2,b=1,c=3.
-3
不妨设F1为左焦点,P在x轴上方,则F1(-3,0),设P(-3,m)(m>0),则
4
2
2
2
x2
2
112
+m=1,解得m=,所以|PF1|=根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|
22172
=2-=.
22
4
椭圆的几何性质
典题导入
[例2] (1)F1、F2是椭圆+y=1的左右焦点,点P在椭圆上运动.则PF1·PF2的
4最大值是( )
A.-2 B.1 C.2 D.4
x2
2
x2y2
(2)(2012·江西高考)椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分
ab别是F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
15A.B. 451
C.D.5-2 2
[自主解答] (1)设P(x,y),依题意得F1(-3,0),F2(3,0),PF1·PF2=(-32322222
3-x)(3-x)+y=x+y-3=x-2.∵0≤x≤4,∴-2≤x-2≤1.∴PF1·PF2的
44最大值是1.
(2)由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列,则|F1F2|=15222222
|AF1|·|F1B|,即4c=a-c,a=5c,所以e=,故e=.
55
[答案] (1)B (2)B
由题悟法
1.求椭圆的离心率实质上是建立a,b,c中任意两者或三者之间的关系,利用e=或
2
cae=
1-??去整体求解.
a?b?2??
2.解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注意定义的应用;二是要注意数形结合;三是要注意-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用.
以题试法
2.(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点
2516
x2y2
5
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)椭圆教学案
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