高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）椭圆教学
案
[知识能否忆起]
1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a＞2c，a＝b＋c，a＞0，b＞0，c＞0 222图形 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率 通径 [小题能否全取]
x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤a；|y|≤b 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0，±b) (±c,0) y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤b；|y|≤a 曲线关于x轴、y轴、原点对称 长轴顶点(0，±a) 短轴顶点(±b,0) (0，±c) |F1F2|＝2c(c＝a－b) 222ce＝∈(0,1)，其中c＝a2－b2 a2b过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 2a1．(教材习题改编)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|
49＋|PF2|等于( )
A．4 B．8 C．6 D．18
x2y2
1
解析：选C 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6. 2．(教材习题改编)方程
＋＝1表示椭圆，则m的范围是( ) 5－mm＋3
x2y2
A．(－3,5) B．(－5,3)
C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3) 5－m＞0，??
解析：选C 由方程表示椭圆知?m＋3＞0，
??5－m≠m＋3，解得－3＜m＜5且m≠1.
4
3．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
94＋k5A．－21 B．21 1919
C．－或21 D.或21
2525
解析：选C 若a＝9，b＝4＋k，则c＝5－k，
2
2
x2y2
c45－k419由＝，即＝，得k＝－； a53525
若a＝4＋k，b＝9，则c＝k－5，
2
2
c4k－54由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5
1
4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为
28.则该椭圆的方程是________．
解析：∵2c＝8，∴c＝4，
c41
∴e＝＝＝，故a＝8.
aa2
又∵b＝a－c＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.
6448答案：＋＝1
6448
5．已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2
＝30°，则椭圆的离心率为________．
解析：在三角形PF1F2中，由正弦定理得 sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝
π， 2
2
2
2
y2x2
y2x2
设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，
2
2c3
所以离心率e＝＝.
2a3答案：
3 3
1.椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1，F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．
椭圆的定义及标准方程
典题导入
x2y2322[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x－yab2
＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
82126C.
＋＝1 D.＋＝1 164205
3
， 2
x2y2x2
x2y2
y2x2y2
[自主解答] ∵椭圆的离心率为
ca2－b23∴＝＝，∴a＝2b. aa2
故椭圆方程为x＋4y＝4b.
∵双曲线x－y＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x＋4y＝4b在第一象限的交点为?∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为即a＝4b＝20.
2
2
2
2
2
2
22
2
2
?2525?
b，b?，
5??5
2525
b×b＝4，∴b2＝5，55
3
故椭圆C的方程为＋＝1.
205[答案] D
本例中条件“双曲线x－y＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x＋y－2x－15＝0的半径”问题不变．
解：∵x＋y－2x－15＝0，
∴(x－1)＋y＝16，∴r＝4，即2a＝4，a＝2. 又＝
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
ca3
，∴c＝3， 2
∴b＝1，故椭圆方程为＋y＝1.
4
由题悟法
1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．
x2
2
x2y222
3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，也可设为Ax＋Bymn＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)．
以题试法
1．(2012·张家界模拟)椭圆＋y＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线
4与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )
73A.B. 22C.3D．4
解析：选A 因为a＝4，b＝1，所以a＝2，b＝1，c＝3.
－3
不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－3，0)，设P(－3，m)(m＞0)，则
4
2
2
2
x2
2
112
＋m＝1，解得m＝，所以|PF1|＝根据椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|
22172
＝2－＝.
22
4
椭圆的几何性质
典题导入
[例2] (1)F1、F2是椭圆＋y＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则PF1·PF2的
4最大值是( )
A．－2 B．1 C．2 D．4
x2
2
x2y2
(2)(2012·江西高考)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分
ab别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
15A.B. 451
C.D.5－2 2
[自主解答] (1)设P(x，y)，依题意得F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1·PF2＝(－32322222
3－x)(3－x)＋y＝x＋y－3＝x－2.∵0≤x≤4，∴－2≤x－2≤1.∴PF1·PF2的
44最大值是1.
(2)由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|＝15222222
|AF1|·|F1B|，即4c＝a－c，a＝5c，所以e＝，故e＝.
55
[答案] (1)B (2)B
由题悟法
1．求椭圆的离心率实质上是建立a，b，c中任意两者或三者之间的关系，利用e＝或
2
cae＝
1－??去整体求解．
a?b?2??
2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．
以题试法
2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点
2516
x2y2
5
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)椭圆教学案
