考点规范练29 数列的概念与表示
考点规范练A册第19页
基础巩固
1.数列1,3,5,7,9,…的一个通项公式an=( ) A.2??+1 答案:B
2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=A.6 答案:D
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=????-1
???+1??5
2345
??B.2??-1
??C.2??-3 ??D.2??+3 ????1
,则等于( ??+1??5
1
)
D.30
B.5 6
C.30 =
1
??(??+1)
,则
1
??5
=5×(5+1)=30.
3.已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=( ) A.4 答案:D
解析:由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.
4.(2019广东六校第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn=n+n+1,bn=(-1)an(n∈N),则数列{bn}的前50项和为( ) A.49 答案:A
解析:由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列{bn}的前50项和为-3+4-6+8-10+…+96-98+100=1+48=49,故选A. 5.若数列{an}满足a1=2,an=1-??A.-1 答案:A
B.2 11
1
??-1
2
B.3 C.2 D.1
n*B.50 C.99 D.100
(n≥2,且n∈N),则a2 018等于( )
C.1
D.2
* 1
解析:∵a11
1=2,an=1-??(n≥2,且n∈N*),
??-1
∴a1
2=1-1
??=1-∴a1
1
1
1=-1,3=1-2
??=1-2
-1=2, ∴a111
4=1-??=1-2=2,……依此类推,可得an+3=an,
3
∴a2018=a672×3+2=a2=-1,故选A.
6.设数列√2,√5,2√2,√11,…,则√41是这个数列的第 项. 答案:14
解析:由已知得数列的通项公式为an=√3??-1. 令√3??-1=√41,解得n=14,即为第14项.
7.(2019安徽合肥高三调研)已知数列{a*n}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn(n∈N),则
a10= .
答案:256
解析:因为a1=S1=1,Sn+1=2Sn,所以数列{Sn}是公比为2的等比数列,所以Sn=2n-1,所以a9
10=S10-S9=2-28
=28
=256.
8.(2019河北衡水中学摸底联考)已知数列{an},若数列{3n-1
a1
n1
n}的前n项和Tn=5
×6-5
,则
a5= .
答案:16
解析:根据题意,得a2
1+3a2+3a3+…+3n-1
a1
n1
n=5
×6-5
,
故当n≥2时,a21+3a2+3an-2
1
n-1
1
3+…+3an-1=5×6-5, 两式相减,得3n-1
a1
n1
n-1n-1
n=5
×6-5
×6=6.
即当n≥2时,an-1
n=2,故a5=16.
9.设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)??2??+1-n??2
??+an+1·an=0,则它的通项公式
an= .
答案:1
?? 2
2
解析:∵(n+1)??2??+1-n????+an+1·an=0,
∴[(??+1)????+1-??????](????+1+????)=0. ∵{an}是首项为1的正项数列,∴(n+1)an+1=nan, ????????????-1??-211
即
??+1
??=??1??=??+1,故an????-1
·??-????-2
·…·2??1
·a1=??·??-1·…·2·1=??. 10.已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn+1
n=(-1)·n,求a5+a6及an; (2)若Snn=3+2n+1,求an.
解:(1)因为Sn+1
n=(-1)·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2. 当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an+1
nn=Sn-Sn-1=(-1)·n-(-1)·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1).
又an+1
1也适合于此式,所以an=(-1)·(2n-1). (2)当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,ann-1
n-1
n=Sn-Sn-1=(3+2n+1)-[3+2(n-1)+1]=2·3+2.① 因为a={6,??=1,
1不适合①式,所以an2·3??-1+2,??≥2.
能力提升
11.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(A.2 017n-m B.n-2 017m
C.m
D.n
答案:C
解析:∵an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n, ∴a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…, ∴an+6=an.
则S2017=S336×6+1=336×(a1+a2+…+a6)+a1=336×0+m=m.
) 3
12.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N),则an等于( ) A.2 答案:D
解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N), ∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2), 两式相减,得2an=3an-1(n≥2). 又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1. ∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列. ∴an=(2)
3??-1
3
*n-1
*B.n C.2n-1
D.()2
3??-1
.
n+1
*13.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3+3(n∈N),则数列{an}的通项公式
an= .
答案:3
解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3+3,两式相减得an=3.
14.(2019辽宁五校联考)若数列{an}满足a1=-2,an+an+1=??2+2??,则a10= . 答案:
111110
1
2
nnn+1
n
2
解析:(方法一)因为an+an+1=1
1
1
1
??2+2??,所以an+an+1=1
1
2
??(??+2)
=
1
1
??1
?
1
??+2
,所以a1+a2=1-.因为a1=-,所以
3
2
1
1
1
11
a2=1-3+2;因为a2+a3=2?4,所以a3=3?4-1;因为a3+a4=3?5,所以a4=4?5+1;……所以a10=10?+1=110. 11
1
111
4
(方法二)因为an+an+1=??2+2??,所以an+1=??(??+2)-an.因为a1=-2=1×2-1,所以a2=3+2=6=
n+1;a?=-=-1;a+==+1,……归纳,可得a+(-1),所以3=4=n=2×32×46123×43×512204×5??(??+1)
2211217
1271112112111
a10=10×11+(-1)10=110.
15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3,n∈N,bn=Sn-3. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若an+1≥an,求a的取值范围.
解:(1)因为an+1=Sn+3,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3, 即Sn+1=2Sn+3,
由此得Sn+1-3=2(Sn-3),即bn+1=2bn.
又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)·2. (2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立. 由(1)知Sn=3+(a-3)2.
于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+(a-3)2-3-(a-3)2=2×3+(a-3)2, 故an+1-an=4×3+(a-3)2=2
n-1
n-2
n-2nn-1
n-1
n-2
n-1
n-2
nn-1
n-1
n+1
nnnnn*n1111
12(2)
3??-2
3??-2
+a-3.
当n≥2时,由an+1≥an,可知12()
2
+a-3≥0,即a≥-9.
又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).
高考预测
16.已知数列{an}的通项公式是an=-n+12n-32,其前n项和是Sn,则对任意的n>m(其中m,n∈N),Sn-2
*Sm的最大值是 .
答案:10
解析:由an=-n+12n-32=-(n-4)(n-8)>0得4 即在数列{an}中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0, 因此Sn-Sm的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10. 2 5
2021高考数学大一轮复习考点规范练29数列的概念与表示理新人教A版
