第 7 讲 化归与转化的思想在解题中的应用
一、知识整合
1．解决数学问题时， 常遇到一些问题直接求解较为困难， 通过观察、 分析、类比、 联想等思维过程， 选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题 （相 对来说，对自己较熟悉的问题） ，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思 想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个 数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题 就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题 的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化， 复杂问题向简单问题转化， 新知识向旧知识的转化， 命题之间的转化， 数与形的转化， 空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向 代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。 等价转化前后是充要条件， 所以尽可能使转化 具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性， 或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、 经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解 决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的
条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题， 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 （4）直观化原则： 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨 论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析
例 1．某厂 2001 年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在 改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加， 且每月增加投入的百分率相同， 到 12 月投入建设资金又恰好与 12月的生产利润相同， 问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是
A. m>N B. m （） 无法确定［ 分析］每月的利润组 1 成一个等差数列｛an｝,且公差d>0,每月的投资额组成一个等比数列｛bn｝，且公比q > 1。印d，且孔 02，比较氐与T12的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但 注意到等差数列的通项公式an=a1+（ n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线 上的一些点列。等比数列的通项公式 bn=a1qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数 函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出 ai >bi 则氐> T，即m> No ［点评］ 12 把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图 象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对 问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。 例2.如果，三棱锥P-ABC中，已知PAL BC，PA=BC=l PA BC的公垂线ED=h求 1 证三棱锥P-ABC勺体积V -I2h . 6 分析：如视P为顶点，△ ABC为底面，则无论是SAABC以及高h都不好求?如果观 察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境. 解：如图，连结EB, EC，由PAL BC，PAL ED EDA BC=E可得PAL面ECD这样, 截面ECD各原三棱锥切割成两个分别以 ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它 们的底面积相等，高相加等于 PE+AE=PA=I所以 111 1 1 1 VP-AB（=VP-EC+V\\-EC［= SAECD?AE— SAECD?PE=- ECD ?PA=- ? — BC■ ED\ 3 3 3 3 2 12h . 6 评注：辅助截面ECD勺添设使问题转化为已知问题迎刃而解. 例3.在（x2 3x 2）5的展开式中x的系数为（） 2 (A) 160 (B) 240 (C) 360 (D) 800 分析与解：本题要求(X2 3x 2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法 法则及二项展开式定理，因此，就要把对 x 系数的计算用上述两种思路进行转化： 思路 1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则 (x2 3x 2)5展开式是 一个关于 x 的 10次多项式， (x2 3x 2)5 =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (X2+3X+2)，它的展开式中的一次项只能从 5个括号中的一个中选取一次项 3x并在其 余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为C； ? (3x) ? C4 ? 24=5X 3X 16x=240x, 所以应选 (B) ． 思路2利用二项式定 理把三项式乘幕转化为二项式定理再进行 计算，T 2 2 2 2 x+3x+2=x+(3x+2)=(x +2)+3x=(x +3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x) 有四种不同的化归与转化方法．①如利用 ，二这条思路下又 x2+3x+2=x2+(3x+2) 转化，可以发现只有 C?(3x+2) 5 中会有 x 项，即 C；(3x) ? 24=240X,故选(B):②如利用 x2+3x+2= (x 2+2)+3X 进行转化，则只C； (x 2+2) 4 ? 3x中含有x 一次项，即C5 ? 3x ? C4 ? 24=240X;③如利 用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有C； ? (x2+3x) ? 24中会有x项，即240X;④ 如选择 X2+3X+2=(1+X)(2+X)进行转化，(x2 3x 2)5=(1 X)5 X (2 x)5 展开式中的一次 项x只能由 (1+X) 5中的一次项乘以(2+X) 5展开式中的常数项加上(2+X) 5展开式中的一 次项乘以(1+X) 5展 开式中的常数项后得到，即为C5x ? C ；2+5?2?X?5? 1=160X+80X=240X,故选(B). 5 C 4 C ) 5 评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。 例 4．若不等式 x2 px 4x p 3 对一切 0 p 4 均成立，试求实数 x 的取值范 围。解： Q x2 px 4x p 3 (x 1)p x2 4x 3 0 3，则要使它对0 p 4均有 g(p) 0，只要有 2 令 g(p) (x 1)p x2 4x g(0) 0 g(4) 0 x 3或x 1。点评：在有几个变量的冋 题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解 决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特 定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问 题迎刃而 3 解。本题中，若视 x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问 题变成关于 p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。 三、总结提炼 1．熟练、扎实地掌握基础知识、 基本技能和基本方法是转化的基础； 丰富的联想、 机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意 识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极 主动有意识地去发现事物之间的本质联系。 “抓基础， 重转化”是学好中学数学的金钥 匙。 2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可 以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问以从几何的角度去解决问题。 题，又可4
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