第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性
问题
25
1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点
5
?25??1，?.
5??
(1)求椭圆C的标准方程；
→→(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA＝λ1AF，→→
MB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2为定值．
解析：(1)设椭圆C的方程为 x2y2
＋＝1(a＞b＞0)， a2b2
??则??25?
??1?5???a2＋b22＝1，
∴a＝5，b＝1，
2
2
c25
＝，a5
x22
∴椭圆C的标准方程为＋y＝1.
5
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)， 又易知F点的坐标为(2,0)． 显然直线l存在斜率， 设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y＝k(x－2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程中，消去y并整理得(1＋5k)x－20kx＋20k－5＝0，
20k220k2－5
∴x1＋x2＝，x1x2＝. 1＋5k21＋5k2
x1x2→→→→
又∵MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，将各点坐标代入得λ1＝，λ2＝，
2－x12－x2x1x2
∴λ1＋λ2＝＋
2－x12－x2＝
＋4－
－2x1x2
＋＋x1x2
2
2
2
2
2?＝
＝－10，
20k220k2－5
4－2·＋1＋5k21＋5k2
?20k2－20k2－5?
?
?1＋5k21＋5k2?
即λ1＋λ2为定值．
2．(2018·贵阳一模)过抛物线C：y＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，
2
B两点，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标． 解析：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程
y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k＋4)]－4k·k＝16(k＋1)＞0， 2k2＋4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
k2由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴
2k2＋42
＝6，∴k＝1，即k＝±1， k2
2
2
2
2
2
∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
y2＋y1y2＋y1
(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，直线BD的斜率kBD＝＝
x2－x1y22y21
－44＝
4
， y2－y1
∴直线BD的方程为y＋y1＝
4
(x－x1)， y2－y1
即(y2－y1)y＋y2y1－y21＝4x－4x1，
∵y21＝4x1，y2＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(y1，y2异号)，
∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0， 恒过点(－1,0)．
13．(2018·南宁模拟)已知抛物线C：y2＝ax(a＞0)上一点P(t，)到焦点F的距离为2t.
2(1)求抛物线C的方程；
(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
a
解析：(1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋＝2t，则a＝4t，
4
2
11
由点P(t，)在抛物线上，得at＝，
24a12
∴a×＝，则a＝1，
44由a＞0，得a＝1， ∴抛物线C的方程为y＝x. (2)∵点A在抛物线C上，且yA＝1， ∴xA＝1.
∴A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线的方程为x－3＝m(y＋1)， 即x＝my＋m＋3，
代入y＝x得y－my－m－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3， y1－1y2－1
∴k1k2＝· x1－1x2－1＝
y1y2－
m2y1y2＋＋
＋
＋
＋1＋
＋
2
2
2
1＝－，
2∴k1k2为定值．
x2y2
4．(2018·福州四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，
a2b2b
短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为
3
RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
11bc1解析：(1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝. 223a2x2y2b22b2
将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
a2b2aa又a＝b＋c，所以a＝2，b＝3， x2y2
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称．
当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为y＝k(x－1)，R(x1，
2
2
2
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点定值存在性问题能力训
