2《概率论与数理统计》期末考试 - [B]答案

华中农业大学本科课程期末考试试卷B卷答案

考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 考试日期：

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一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。） 1. 设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 【(d)】.

(a) A与B不相容； (b) A与B相容； (c) P(AB)=P(A)P(B)； (d) P(A

B)=P(A)．

2. 设随机变量序列X服从N(,16), Y服从 N(,２５)，记p1=P{X<-4},

p2=P{X>+5},则下列结论正确的是 【(a) 】 . (a)对任何实数，都有p1= p2； (b) 对任何实数(c) 对个别实数

，才有p1= p2； (d) 对任何实数

，都有p1< p2； ，都有p1> p2.

3. 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?未知，?2已知，X1,X2,X3是总体X的 一个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 【（d）】 ． （a）X1?X2?X3； （b）min(X1,X2,X3)； （c）?

i?13

Xi2?2

； （d）X?2?．

4．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 【（d）】 .

（a）SSR越大，SSE越小； （b）SSE越小，回归效果越好； （c）r越大，回归效果越好； （d）r越小，SSR越大．

5．设随机变量X~F(n,m),欲使P{1

1的值可为 【（a）】 .

?1?1????（a）F?(n,m); （b）F?(m,n); （c）?F?(n,m)?;（d）?F?(m,n)?;

?2??2?22

二、填空题（将答案写在该题横线上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。）

1. 一射手对同一目标射击4次,假设每次是否命中使相互独立的,已知至少命中一次的概率为80/81,则该射手的命中率为 2/3 . 2.设

服从[

,

]上的均匀分布,又X=sin

, Y=cos

, 则X与Y的相关系数

XY=

0 .

3. 数理统计的目的是通过样本推断总体.

4．在单因素方差分析中，试验因素A的r个水平的样本总容量为n，则当原假设H0成立时，

SSA?2服从 x2(r?1)分布，MSAMSE服从 F(r1, nr) 分布.

5. 在线性回归模型y??0??1x??中，如果b1为?1的最小二乘估计，则Eb1＝?1.

三、(10分，要求写清步骤及结果)证明下列命题:

1 .若P(A/B)?P(A),则P(B/A)?P(B); 2.若P(A)?P(A/B),则P(A)?P(A/B).

证明： 1. 由 P(A/B)?P(A), 得 P(AB)/P(B)?P(A), …………………(2分)

进而有P(AB)/P(A)?P(B); 即P(B/A)?P(B) .…………………(3分)

2. 1. 由 P(A)?P(A/B), 得 P(A)P(B)?P(AB), …………………(1分)

进而有?P(A)P(B)??P(AB); .…………………(2分)

两边加上P(B),得 P(A)P(B)?P(AB),即P(A)?P(A/B). ………(2分)

四、(10分，要求写清步骤及结果) 一个复杂的系统，由n个相互独立的部件所组成， 每个部件的可靠性为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统工作，问： n至少为多少才能使系统以0.95的概率工作？

( 附：Φ(1.64)=0.95，Φ(1.96)=0.975，其中Φ(x)是标准正态分布函数。)

解。 设 X表示n个相互独立的部件正常工作的个数，则X～B(n,0.9)，

EX=0.9n, DX=0.09n. …………………(3分)

由中心极限定理知：

X?0.9n0.01n~N(0,1). …………………(3分)

?n?0.9nX?0.9n0.8n?0.9n?则：P{n?X?0.8n}?P????

0.01n0.01n??0.01n?nX?0.9nn??P??????0.95 ………………(2分)

3?0.01n?3?n??得到： 2???3??1?0.95，n=35. …………………(2分) ??

五、(12分，要求写清步骤及结果)

设总体X服从(0,

)上的均匀分布，取容量为6的样本的矩估计以及极大似然估计值.

观测值为：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，求：总体参数

解： 由 EX=/2, 得矩估计：??2x?2.4 …………………(6分)

极大似然估计为：??max{xi,i?1,...,6}?2.2 …………………(6分)

六、(15分，要求写清步骤及结果) 随机抽取了甲地10户与乙地8户居民的月收入如下表:

(?

甲(元) 乙(元) 473 260 324 653 518 558 373 443 578 373 234 251 198 167 198 360 233 373 ???0.05).

行平均值 455.3 251.75 试问:1.两地居民的月收入方差是否有显著差异?

2. 两地居民的月收入平均值是否有显著差异?

( 附：F0.975（9，7）=4.82，F0.975（7，9）=4. 2，t0.975(16)=2.12) 解：设两地居民的月收入分别是X与Y，

22X~N(?1,?1),Y~N(?2,?1),且两者独立。

222(1) 先作方差的检验： H0:?12??2. ………………(1分) ,H1:?1??22*2检验统计量F?S*XSY，当H0为真时，因为F~F(n?1,m?1),

所以拒绝域是：f?F0.5?(n?1,m?1)或f?F1?0.5?(n?1,m?1)， …………(4分)

计算：f?123.83275.6382?2.68, F0.975（9，7）=4.82，…………(2分)

{F<0.238}.

F0.025(9,7)?14.20?0.238, 拒绝域W1={F>4.82}

2没有落入拒绝域，认为?12??2。 ………………(1分) 2(2) 再检验均值：因为（1）中已经检验了?12??2，但未知方差值。

H0:?1??2,H1:?1??2，

检验统计量T?X?Y Sw1/n?1/m2?, 其中Swssx?ssyn?m?2，

当H0为真时，因为T~t(n?m?2)，

所以拒绝域是： |t|?t1?0.5?(n?m?2) ……………(5分) 计算得：t?4.07, 而t

(16)=2.12， 落入拒绝域, 0.975

从而有理由认为两品种的观测值 显著性的差异。………………(2分)

七、(15分，要求写清步骤及结果) 某消防队要考察4种不同型号冒烟报警器的反应时间（单

位：秒），今将每种型号的5种报警器安装在同一条烟道中，当烟道均匀时观测报警器的

反应时间，得数据如下

报警 A1(甲型) A2(乙型) A3(丙型) A4(丁型)

试问：（1）各种型号报警器的反应时间有无显著差异？(=0.01)

（2）请列出方差分析表.

(3)如果各种型号报警器的反应时间有显著差异,那么何种最优？

反 应 时 间 5.2 6.3 4.9 3.2 6.8 7.4 8.1 5.9 6.5 4.9 3.9 6.4 7.9 9.2 4.1 12.3 9.4 7.8 10.8 8.5 Xi? 5.28 6.56 6.30 9.76 （附:

=0.01, F0.99?3,16??5.324） 解：(1)H0:各个总体的?i相同. ………………(2分)

SSA=?iT2i?ni?C=56.2855, SSE=SST?SSA=48.7720; F0.99?3,16??5.324，

F?F0.99?3,12?.故四种种型号报警器的反应时间有显著差异. ………………(5分)

(2) r?1?3, n?r?16. 列表：

方差来源 因素A 误差 总和 平方和 56.2855 48.7720 自由度 均方和 3 16 18.76 3.048 F值 6.15 显著性 * * 105.0575 15 ………………(5分)

?1=x1?= 5.280，??2=x2?=6.56，??3=x3?=6.30， ??4=x4?=9.76. （3）?甲型型号报警器最优. ………………(3分)

八、(18分，要求写清步骤及结果) 某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果

温度x(单位：℃)与吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：

行和 30.3 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 温度xi 1.5 重量yi 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3 91.11 （1）试求线性回归方程；（2）对线性回归方程显著性检验；（3）若x0=2，求:Y0的0.99

预测区间.

（附：t0.995(7)＝3.499，r0.01(7)＝0.7977，F0.99(1,7)＝12.2 ) （ 提示：预测公式t=(y0?y0)?SSE1(x0?x)2?[1??]~t(n?2)） n?2nlxx解：（1） 建模: yi??0??1xi??i~N(?0??1xi,?2).i?1,?,n.…………(1分)

?xii＝30.3,?iyi＝91.11,x＝3.367，y＝10.122，?xi2＝115.11,?xiyi＝345.09，

ii?yii2＝1036.65，lxx=13.100，lxy=38.387, lyy＝114.516，n＝9，

＝2.9303，a?y?bx＝0.2569， ……………(5分)

b?lxylxx?所求的经验线性回归方程为:y＝0.2569+2.9303x；……………(3分)

（2）对H0:?1?0?H1:?1?0的检验,?=0.05. （任选一种方法都可以）

⑴ F检验法:SST?lyy＝114.516，

SSR?blxy＝112.485，SSE?SST?blxy＝2.031，n-2＝7，F0.99(1,7)＝12.2， F?SSR＝387.69，所以回归方程极显著；

SSE(n?2)lxxSSE(n?2)⑵t检验法：t?b＝19.69,t0.995(7)＝3.499,所以回归方程极显著；

⑶ r检验法：r?2l2xylxxlyy＝0.9823，r＝0.9911，r0.01(7)＝0.7977，

所以回归方程极显著； …………(6分)

（3）预测区间

?0=6.12； ⑴当x0=2时，Y0的点估计为y⑵?(x0)?t1??2MSE?(1?1/n?(x0?x)2/lxx)=2.03，Y0的0.95预测区间为(4.09,8.15).

…………(4分)