中考数学人教版专题复习：位似图形和相似三角形的应用
一、教学内容
位似图形和相似三角形的应用
1. 了解位似图形的概念、画法和性质.
2. 会利用相似三角形的知识测量物体的高度或宽度.
3. 能利用位似图形和相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
二、知识要点
1. 位似图形
（1）定义：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比.
EAA'BB'C'CE'D'D
（2）画法：画位似图形的方法根据位似中心与图形的位置关系可以分为三种：①位似中心在图形的一侧；②两个图形分居在位似中心的两侧；③位似中心在两个图形的内部.
AA'OB'AC'D'B'OA'BCBDD'C'BCAA'OB'D'C'CDD
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2. 测量物体的高度 （1）利用阳光下的影子
A'A人CB人的影长（可测）C'B'被测物体的影长（可测）被测物体
（2）利用标杆
ECABM标杆DN旗杆F
（3）利用镜子的反射
DA人BC旗杆E
三、重点难点
本讲重点是位似图形的概念和性质、相似三角形的应用. 难点是应用相似三角形解决实际问题.
四、考点分析
从历届中考题来看，相似形在中考中的位置越来越重要，试题分值也逐渐增加，特别是相似三角形的判定和性质的应用，在解答题中出现的频率较高，近两年来，相似形在实际生活中的应用性问题也开始出现.
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【典型例题】
例1. 如图所示，试回答下列问题，并说明理由.
（1）分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E，使DE∥BC，那么△ADE与△ABC是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了；
（2）分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，那么△ADE与△ABC是位似图形吗？若是，是放大了还是缩小了？
EADECBCADB(1) (2)
分析：解答此题的关键是正确理解位似图形的定义，即（1）必须是相似图形；（2）所有对应顶点的连线都经过同一点. 这两条缺一不可. 若再要判定是放大了还是缩小了，就看位似比是大于1还是小于1就行了.
AD解：（1）是，缩小了. 理由是△ADE∽△ABC，且对应点的连线都经过一点A，位似比AB＜1.
（2）是，无法确定放大还是缩小，理由是△ADE∽△ABC，且对应点的连线都经过一点AD
A. 但AB的值可能大于1，也可能小于1，无法确定.
例2. 如图所示，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A'B'C'D'.
（1）沿OA方向放大为原图形的2倍； （2）沿AO方向放大为原图形的2倍.
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ABDOC
分析：此题两问都是将原图形放大2倍，也就是位似比为2∶1，而（1）问是沿OA方向，即从O点向A点的方向，而（2）问是沿AO方向，即从A点向O点的方向放大. 解：如图1所示.
①连接OA，并延长OA到A'，使AA'＝OA； ②连接OB，并延长OB到B'，使BB'＝OB； ③连接OC，并延长OC到C'，使CC'＝OC； ④连接OD，并延长OD到D'，使DD'＝OD； ⑤连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.
则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.
A'B'BDOCC'AD'图1
（2）如图2所示.
①连接AO，并延长AO到A'，使OA'＝2OA；
②连接OB、OC、OD，并延长BO、CO、DO到B'、C'、D'，使OB'＝2OB，OC'＝2OC，OD'＝2OD.
③连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'.
则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD关于O点的位似图形，且位似比为2∶1.
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CDA'OB'D'ABC'图2
例3. 如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.60m，梯上点D距墙1.4m，BD长0.55m，则梯子的长为（ ）
A. 3.85m
B. 4.00m
C. 4.40m D. 4.50m
ADBEC
ADDE
分析：找出图中的相似三角形，列出相应的比例式AB＝BC，代入求值即可. BC＝1.6m，DE＝1.4m，DE∥BC，BD＝0.55m，设AB＝x m，则AD＝（x－0.55）m. 由△ADE∽△ABC，x－0.551.4ADDE
可得AB＝BC，即x＝1.6，解得x＝4.40，故选C. 解：C
例4. 如图所示，小明为了测量一高楼MN的高度，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度. （精确到0.1m）
MBANC
分析：根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样△BCA与△MNA的相似关系就明确了.
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