3.1.4 空间向量的直角坐标运算
1．了解空间向量坐标的定义．
2．掌握空间向量运算的坐标表示．(重点)
3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．(难点、重点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量的直角坐标运算
阅读教材P89～P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题． 1．单位正交基底与坐标向量
建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．
2．空间向量的直角坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量坐标运算法则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 →＝OB→－OA→＝(x－x，y－y，z－z)．
AB212121也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( ) A．a＋b＝(10，－5，－6)
B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10
D．2a＝(8，－4，－8)
【解析】 易验证A，B，C均不正确，D正确． 【答案】 D
→的坐标为______． 2．在空间直角坐标系中，若A(1,3,2)，B(0,2,4)，则向量AB【答案】 (－1，－1,2)
教材整理2 空间向量平行和垂直的条件
阅读教材P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题．
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a1＝λb1，??a∥b(b≠0)?a＝λb??a2＝λb2，??a3＝λb3
平行(a∥b) (λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( ) A．1 3
B．
5
71
C. 5D．
5
【解析】 ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
5
【答案】 D
教材整理3 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 阅读教材P91第10行以下部分内容，完成下列问题． 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a·b＝________；
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(2)|a|＝a·a＝________；
a·b
(3)a≠0，b≠0，cos〈a，b〉＝
＝________； |a||b|
(4)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0?________. 【答案】 (1)a1b1＋a2b2＋a3b3 (2)
a21＋a22＋a23
a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·
b21＋b22＋b23
(3)
(4)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
△
ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，为________．
??31??→→＝【解析】 AB，AC＝(－1,0,0)， －，，0??22??
3
则cos A＝
＝＝，故角A的大小为30°.
→|·|AC→|1×12|AB→·AC→AB
2
3
?31?2)，B?－，，
22?
?
?
2?，C(－1,0，?
2)，则角A的大小
【答案】 30°
教材整理4 空间中两点间的距离公式
阅读教材P91“例3”以上部分内容，完成下列问题． 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 →＝________； (1)AB
→|＝________.
(2)dAB＝|AB
【答案】 (1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) (2)错误!
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)教师用书：第3章 空间向量与立体几何 3.1.4
