课时作业7 二次函数与幂函数
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝x的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( ) A.3 C．±9
B．±3 D．9
α
11α2α
解析：由已知条件可得4＝2＝2，所以α＝，则f(x)＝x＝x，故f(m)＝m＝3?m
22＝9，选D.
答案：D
??1
??时，幂函数y＝xα的图象不可能经过的象限是( ) －1，，1，32．当α∈
2??
A．第二象限 C．第四象限
解析：画出函数图象即可． 答案：D
B．第三象限 D．第二、四象限
3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) 1
2x
A．lgx>x >2 1 2x
C．x >2>lgx
1 2x
B．2>lgx>x 1 2x
D．2>x >lgx
11 22xx
解析：当x∈(0,1)时，2∈(1,2)，x ∈(0,1)，lgx∈(－∞，0)，所以2>x >lgx. 答案：D
4．已知函数y＝ax＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
2
解析：∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0. 答案：D
5．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( )
1A．－
161C．－
4
1B．－
8D．0
2
2
解析：设x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0,1]，则f(x＋2)＝(x＋2)－(x＋2)，又f(x＋2)123
＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，∴f(x)＝(x＋3x＋2)，∴当x＝－时，取到最小值为
421
－. 16
答案：A
6．若关于x的不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( ) A．a<－2 C．a>－6
2
2
B．a>－2 D．a<－6
2
2
解析：不等式x－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x－4x－2)max，令g(x)＝x－4x－2，x∈(1,4)，
所以g(x)≤g(4)＝－2，所以a<－2. 答案：A 二、填空题
7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx＋(2a＋ab)x＋2a.
∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，b＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a＝4，∴f(x)＝－2x＋4.
答案：－2x＋4
8．已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) a 解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a＝4b，所以x＋ax＋－c<0的 4 2 2 2 2 222 2 2 2 a 解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数 4 2 2 2m＋6＝－a，??2 的关系得?a ＋＝－c，?4? 答案：9 解得c＝9. 9．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________． 解析：当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x－2x得f(x0)∈[－1，3]，又对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当a>0时， ??－a＋2≥－1， ???2a＋2≤3， 2 2 1?1?解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是?0，?. 2?2? ?1?答案：?0，? ?2? 三、解答题 10．已知函数f(x)＝x＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x＋3x－3，x∈[－2,3]， 3?3?对称轴x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f?－? 2?2?9921 ＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15， 424 2 2 ?21?∴函数f(x)的值域为?－，15?. ?4? 2a－1 (2)函数f(x)的对称轴为x＝－. 2 2a－11①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 221 ∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意； 32a－11②当－>1，即a<－时， 22 1 f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知a＝－或－31. 11．已知函数f(x)＝x－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－ 2 f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝(x－a)＋5－a(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a]． ∴? ???? 2 2 ＝a，＝1， ??1－2a＋5＝a， 即?22 ??a－2a＋5＝1， 解得a＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2. 又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， ∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a. ∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， ∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3. 又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]． 2 1．幂函数y＝x，y＝x与y＝x在第一象限内的图象如上图所示，则m与n的取值情况为( ) A．－1 在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x的图象，在(0,1)内作直线x＝x0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1 答案：D ??b，a－b≥1， 2．对任意实数a，b定义运算“?”：a?b＝? ?a，a－b<1.? 0 －1 m n 设f(x)＝(x－1)?(4＋x)， 2 若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) A．(－2,1) C．[－2,0) 2 B．[0,1] D．[－2,1) 2 解析：当x－1－(4＋x)≥1时，x≥3或x≤－2；当x－1－(4＋x)<1时－2 ??4＋x，x≥3或x≤－2 故f(x)＝?2 ?x－1，－2 ， f(x)的图象如下图所示，y＝f(x)＋k的图象与x轴有三个不同交点转化为y＝f(x)与y＝－k有三个不同交点，由图可知－1<－k≤2，故－2≤k<1. 答案：D 3．若函数f(x)＝ax＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1、x2，使得|f(x1)－f(x2)| ≥8成立，则实数a的最小值为________． 解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，又在二次函数的图象上，区间[t－1，t＋1]离对称轴越远，f(x)max－f(x)min越大，所以当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，为f(t＋1)－f(t)＝a≥8，所以实数a的最小值为8. 答案：8 4．已知函数f(x)＝ax＋ax和g(x)＝x－a.其中a∈R且a≠0. (1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值； 1 (2)若p和q是方程f(x)－g(x)＝0的两根，且满足0 ag(x) 解：(1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0)， 又∵点(a,0)也在函数f(x)的图象上，∴a＋a＝0. 而a≠0，∴a＝－1. (2)由题意可知f(x)－g(x)＝a(x－p)(x－q)． 1 ∵0 a ∴当x∈(0，p)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)． 又f(x)－(p－a)＝a(x－p)(x－q)＋x－a－(p－a)＝(x－p)(ax－aq＋1)，x－p<0，且ax－aq＋1>1－aq>0，∴f(x)－(p－a)<0，∴f(x) 综上可知，g(x) 2 22
2016届高考数学(理)大一轮复习同步训练第2章《函数、导数及其应用》课时作业7(新课标版)
