第三讲 常见的数学方法
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．本讲中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．如下表： 名称 内容 1.三角函数求极值：y(θ)=cosθ+μsinθ，ymax=1+μ2 4ac-b222.二次函数求极值：y=ax+bx+c，ym=4a(a＞0时，有ymin；a＜0时，有ymax) 极限法 3.均值不等式：a+b≥2ab( a＞0 ,b＞0), a+b+c≥3abc( a＞0 ,b＞0, c＞0) 1.对称点的性质、镜像对称 2.两点间的直线距离最短 几何法 abc3.正弦定理：sinα = sinβ = sinθ；余弦定理：a2=b2+c2+2bccosα 34.全等、相似三角形的特征 5.圆轨道及圆的相关性质、圆方程 1.直线型图象：y=kx+b 2.正(余)弦曲线型图象 图象法 3.抛物线型图象 4.描述一个物理量随另一个物理量变化的曲线等，如闭合电路中各物理量间关系 n(a1+an)n(n-1)1.等差数列：其和Sn= =na+122d(d为公差) 数列法 a1(1-qn)2.等比数列：Sn= (1-q) ,a1为首项，q为公比，当q＜1时，qn→0. 微元法 无穷小等分，往往对其中的一个微元作处理. 数学归纳法 对于一个复杂的过程由特殊到一般，归纳成某一通式，求解. 三角函数变换 sin2θ+cos2θ=1，sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ=cos2θ-sin2θ 方程法 直线方程，一元二次方程的判别式，椭圆方程，二次函数，圆方程等 另外还有比值法、不等式法
探究——思维拓展 【例1】 [2008年高考上海卷·4·向量与矢量三角形] 如图7-1所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F 的作用下，从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（θ＜π/4）。则F大小至少为____________；若F＝mgtanθ，则质点机械能大小的变化情 况是______________________________。
跳出陷阱 某同学这样解第2问，若F＝mgtanθ时，正好F力的方向沿着x轴正方向，因此外力F与运动位移方向成锐角，质点的机械能增加。
指点迷津
图7-1
典题分析 实际上该同学忽视了题干只给出外力F的大小，而未给出该力的方向。F＝mgtanθ时，外力F的方向不仅仅为沿着x轴正方向，还可能有其它方向。为了能够严密的找出F＝mgtanθ时的所有可能性，需要运用力的矢量三角形定则。
正确析解 如图7-2所示，质点受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿着ON方向，将重
O 力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，
θ 说明质点做匀加速直线运动，如图中显示当F力的方向为a方向（垂直于ON）时，F力c 最小为mgsinθ；若F＝mgtanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运
a 动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，故
b 质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mgsinθ，增大、减小都有可能。 mg N 方法归类
图7-2
力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法，解决共点力
问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。矢量三角形的处理原则：
1、抓住“定”量，比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向，这点很重要，它直接确定了三角形的两个顶点和一个边；再比如墙壁上的弹力方向始终不变，这确定了动态三角形中的某个边的方向；
2、找到“变”量，往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化，有时候是边长变化、有时候是方向发生变化。
一题多变 物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为μ，
N GF 物体重为，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？
F 画龙点睛 该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含
θ 有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同 值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。
析解 方法一：如图7-3，对物体受力分析，设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，
即Fcosθ－f=0 ① N+Fsinθ=G ② f=μN ③ 联立①②③解得：
f mg 图7-3
?G?GF??
2?sin??cos?1??(sin?cos??cos?sin?) F/ f N Φ F G 图7-4
??G1??sin(???)2,
1
其中tanф= μ，故Fmin??1??2G
F F 方法二：向量就是物理学中的矢量，当物体受三力平衡时，将三矢量首尾相连
F'' 后，必定构成三角形。利用点到直线的垂直线段最短可求极值。对本题我们也可用矢量知识求极值。
将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力F'，如图7-4，F'与竖直方向的夹
f
角为tanф= N =μ（为一定值）。这样木块可认为受到三个力:重力G，桌面对木块的作用力F'和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相连后必构成三角形，如图7-5所示。只有当F与F'’垂直时，即拉力与水平方向成ф角时，拉力F最小为F=Gsinф
而sin??Φ F' F''' F Φ G tan?1?tan?2??1??2 ，故F?Gsin???G1??2图7-5
一题多变 [2008年高考四川延考卷·21·正弦定理与矢量三角形]两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图7-6所示。己知小球a和b的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是 ( )
A．45° B．30° C．22.5° D．15° 画龙点睛
图7-6
通过对a和b两小球的受力分析，抓住受力的共同特点：轻杆对小球的作
用力等大、反向，以及重力均竖直向下，大小关系在题干已经给出，还有重要的几何关系即细杆的长度是
球面半径的2倍。分别将两小球受到的共点力归结到矢量三角形中，最后利用数学的正弦定理列方程求解。
正确解析
O 如图7-7，对a、b分别受力分析，将三个力归结到三角形Oac与Obc中，
b 由牛顿第三定律可设两球受到杆的作用力大小Nac=Nbc，依题意可知，ab=2
c a Oa=2Ob，故三角形Oab为等腰直角三角形。
3mg
可设∠aOc=90°－∠bOc=α，根据矢量三角形定则及正弦定理可得：图7-7 sin45° = NacmgNbc
， = sinαsin45°sin(90°－α)，解得α=30°，由几何关系可得θ=15° 。本题还有其他解法，比如杠杆平衡条件解题、利用质心找到平衡点等方法，不妨试一试。
追问 1、试讨论一下a球和b球质量比为n发生变化时，细杆与水平面的夹角θ如何变化？
2、若撤去光滑的半球面，Oa、Ob为细绳，a、b为同性电荷，其它条件不变，思考一下结果还是不是一样？
【例2】 [2008年高考全国Ⅰ卷·21·不等式与极值] 一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2，则光线从0o逐渐增大至90o的过程中 ( )
A．t1始终大干t2 B．t1始终小于t2 C．t1先大干后小于t2 D．t1先小于后大于t2 跳出陷阱 sinθc
高考中某些考生解法如下：设折射角为α，玻璃砖的厚度为h，由折射定律n=sinα ，且n=v ，在玻璃
hh2n4
2
砖中的时间为t=vcosα ，联立解得t=c2(n2- sin2θ) 。研究这个函数，若对变化的入射角θ，和不同光的折
h2n14
22
射率n，设红光的折射率为n1，蓝光的折射率为n2，且n2＞n1＞1，讨论：当t红= t蓝时，有c2(n2- sin2θ) =
1
c2(n22- sin2θ)n12 n22n12122
h2n24 ，化简得sinθ = n12＋n22 ＞ 2 ＞2，由sinθ≤1，可得n1＜2时，即当红光的折射率n1=2时出现极值，n1＞2时，入射角θ从0o逐渐增大至90o的过程中，一定有t1＜t2 ，故B正确。实际上，
1
当sin2θ ＞ 2，即θ ＞ 45°时，t1＞t2 。
指点迷津 实际上能够在列出函数方程后，利用强大的数学功底，应用函数变化和不等式知识得到最后结果，是非常困难的，也会耗掉很多时间，这在高考临场中是一大禁忌。我们不禁发问高考物理试题难道要这么强大的数学函数功底才能解决问题吗？其实作为选择题，有灵活的数学处理方法。本题存在一个转折点，就是给出的该玻璃对红光的折射率为1.5这个条件。要想快速解题，列出简单的函数方程对计算量的简化和思维时间有很大的帮助。
正确析解 hhnhsinθ2hsinθ
我们从时间的表达式开始，t = vcosα = ccosα = csinαcosα = csin2α ，对红光的折射角α1，蓝光的折sin2α2
射角α2，则t红 : t蓝= sin2α ，由于α1 ＞α2 ，故在2α1≤90°，即α1≤45°时总有t1＜t2 ，要入射角θ从0o
1
sinθ
逐渐增大至90o的过程中总成立，要求红光的折射率n1= sinα ＞2，由于题干给定n1=1.5，故总有t1＜
1
t2 ，B正确。
方法归类 高考中对处理物理情景后列出数学函数方程，然后运用数学不等式的知识灵活处理临界问题，一直是考生的一大瓶颈。处理临界值问题时可以考虑：
1、运用二次函数极值公式求极值；2、利用一元二次方程求极值；3、利用配方法求极值；4、利用不等式求极值；5、利用三角函数的有界性求极值；6、利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函数转换为同名三角函数）求三角函数极值；7、利用向量求极值；8、图象法求极值；9、利用数学求导的方法求极值；
以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。求最大和最小值问题，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。
解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。
一题多变 [2008年高考全国Ⅱ卷·15·函数与极值]一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上，经两次折射后从玻璃板另一个表面射出，出射光线相对于入射光线侧移了一段距离。在下列情况下，出射光线侧移距离最大的是 ( )
A．红光以30°的入射角入射 B．红光以45°的入射角入射 C．紫光以30°的入射角入射 D．紫光以45°的入射角入射 跳出陷阱 高考中某些考生思路如下：因为同种介质对紫光的折射率较大，故入射角相同时，紫光侧移距离较大，
sini
排除A、B选项；设入射角为i，折射角为r，玻璃砖厚度为d则侧移距离△x = d(tani－tanr)cosi，由n=sinr 代入化简得：?x?指点迷津
dsini(1?cosi)n?sini22。
这个函数已经列出来了，思路上没有出错，而且折射率n＞1时，△x随着入射角i的增大而增大，但要怎么该函数为单调递增函数并不容易。通过精确画图的确可以很快得到结果，而且最大侧移距离趋近于玻璃砖的厚度。利用数学函数分析以及高三教材的数据可以更加清晰的看到侧移距离的变化。
正确析解 dsin(i－r)
cosr ，在高三教材中，折射定律这一节有入射角与折射角的数据表
格，从数据可知，入射角增大时，折射角也增大，且入射角与折射角的差值也在增大，故随着入射角i的增大，sin(i－r)增大，cosr减小，故△x必定增大。从而选择D选项。从这个结论中总结规律，同一种单色光，入射角增大时，侧移距离逐渐增大到玻璃的厚度；同样的入射角的前提下，折射率增大，侧移距离增大。
θ 【例3】 [2007年高考全国Ⅰ卷·24·数学归纳法与碰撞] 如图7-8所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M＝19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ＝60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
跳出陷阱 我们重新列函数方程：△x =
这是一道碰撞中的动量与能量守恒问题，试题没有给出磁场的阻尼作用如何产
M m 生，但给出了磁场，您考生容易产生错觉，以为要运用磁场相关知识解决问题。对
图7-8
于两个金属球的运动过程，题目给出的描述并不是一目了然。特别是碰撞多次，每次碰撞过程中绝缘球的动能损失并不是一个常量，这给解决问题带来了困难。
指点迷津 对于每次碰撞过程中绝缘小球的动能损失量不是一个常量，那么有什么规律呢？为了找到规律，数学中常常以数学归纳法来寻找通项公式。
正确析解 设在第n次碰撞前绝缘球的速度为vn－1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为vn、Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则
mvn?1?MVn?mvn
12112 mvn?1?MVn2?mvn22291解得： vn?vn?1 ，Vn?vn?1
101012n第n次碰撞后绝缘球的动能为： En?mvn?(0.81)E0
2E0为第1次碰撞前的动能，即初始能量。
绝缘球在θ＝θ0＝60°与θ＝45°处的势能之比为
Emgl(1?cos?)??0.586 E0mgl(1?cos?0)En经n次碰撞后有： n?(0.81)
E0易算出(0.81)2＝0656，(0.81)3＝0.531，因此，经过3次碰撞后θ小于45° 。 方法归类 该题除了考查碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律外，还运用了数学归纳法寻找通项公式，即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系，从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系。找不到这个通项关系，而使用递推法解题的计算量会非常大。
在解决某些物理过程比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的。此类题要求注意在书写上的规范，以便于找出其中
（完整word版）用数学思维解决物理题目
