20．（本小题满分14分）
x2y2??1(a?b?0)C2x2?y2?4C1a2b2C1P(0,?1) 如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的
直径，
l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中1交圆的方程；
lC2于A、B两点，2交椭圆
lC1于另一点D。
(1) 求椭圆
C1(2) 求△ABD面积的最大值及取得最大值时直线1的方程。
21．（本小题满分14分）
2f(x)?xlnx. 已知函数
l(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 证明：对任意的t?0，存在唯一的s，使t?f(s)；
2lng(t)1??2s?g(t)st?elnt2。 (3) 设（2）中所确定的关于t的函数为，证明：当时，有5
数学(理科)
参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
29 9. 8 10. 3 11.24 12.3 13.10 14. 42 15.2
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分） 解：（1）由sinx?0，得x?k?(k?Z)，
?x|x?R,x?k?,k?Z?. …………………………………….2分 故f(x)的定义域为
f(x)? ∵
(sinx?cosx)sin2xsinx
?2cosx(sinx?cosx)
?sin2x?2cosx ?sin2x?cos2x?1
2?2sin(2x?)?14 …………………………………….6分
∴函数f(x)的最小正周期
?T?2???.2 …………………………………….7分
[2k???2（2）∵函数f(x)?sinx的单调递减区间为
,2k??3?](k?Z).2
2k??由
?2?2x??4?2k??3?,x?k?2(k?Z).，
k??得
3?7??x?k??,(k?Z).88……………………………………….10分
[k??3?7?,k??](k?Z).88……………….12分
∴函数f(x)的单调递减区间为
17. （本小题满分12分）
解：（1）由题意得??0,1,2 ……………………………………….1分
112C5?C4C525C415P(??0)?2?,P(??1)??,P(??2)?2?.2C6C9C918 …………….4分 99故
∴?的分布列为：
15510E??0??1??2??.69189 ……………………………………….6分
（2）由已知数据得
……………………………………….10分
40?(1?15?5?19)2K??3.1376?34?20?20根据列联表中的数据，。
2由于3.137?2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。……….12分
18.（本小题满分14分）
（1）∵EF//AB,FG//BC,EG//AC,?ACB?90?,
∴?EGF?90?,△ABC∽△EFG。 …………………………….2分 由于AB?2EF，因此BC?2FG.
连接AF，由于
FG//BC,FG?1BC2，………….3分
在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM//BC，且
AM?1BC2，……………….4分
因此，FG//AM且FG?AM,
所以四边形AFGM为平行四边形，∴GM//FA.
又FA?平面ABFE,GM?平面ABFE，∴GM//平面ABFE. ………………6分 （2）解：∵?ACB?90?，∴?CAD?90?, 又EA?平面ABCD，∴AC,AD,AE两两垂直。 分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz。 …………………………….7分
则A(0,0,0),B(2,?2,0),C(2,0,0),D(0,0,1). …………………………….8分
1uuuruuurEF?ABAB?(2,?2,0),BC?(0,2,0)，又2 故，∴F(1,?1,1),
uruuurm?(x1,y1,z1)，则
BF?(?1,1,1).设平面BFC的法向量uruuur??m?BC?0?y1?0uruuur??x1?1z1?1??m?BF?0?x1?z1
urm?(1,0,1) 。 ……………………………………….10分
，∴ ，取，得，所以
rn?(x2,y2,z2)，则
设平面ABF的法向量ruuur??n?AB?0?x2?y2ruuur??z?0n?BF?0x?1y?1? ? ，∴?2 ，取2，得2，所以
rn?(1,1,0) 。 ……………………………….12分
urrurrm?n1rr?cos?m,n??u|m||n|2 所以
1故二面角A?BF?C的余弦值为2 。 ……………………………….14分
19. (本小题满分14分) 解：（1）∵
a2?1?d,a5?1?4d,a14?1?13d2，且
a2,a5,a14成等比数列，
∴(1?4d)?(1?d)(1?13d)，即d?2， ……………………………………………2分 ∴
an?1?(n?1)?2?2n?1. ………………………………………………4分 ∴
又∵
b2?a2?3,b3?a5?9,q?3,b1?1,bn?3n?1. …………………………………6分
cc1c2??Ln?an?1bb2bn （2）∵1， ① c1?a2c?b1a2?3b∴1，即1，
cc1c2??Ln?1?an(n?2)bb2bn?1又1， ②
cn?an?1?an?2b①?②得n ……………………………………………9分
(n?1)?3cn??n?1cn?2bn?2?3n?1(n?2)?2?3(n?2)，……………………………………11分 ∴，∴
则
c1?c2?L?c2014?3?2?31?2?32?L?2?32014?1
3(1?32013)?32014.122013?3?2?1?3 ?3?2?(3?3?L?3) ……………14分
20.（本小题满分14分）
?b?1?a?2 ……………………………………………2分
解：（1）由题意得?x2?y2?1.C ∴椭圆1的方程为4 …………………………………………3分
（2）设
A(x1,y2),B(x2,y2),P(x0,y0).
由题意知直线1的斜率存在，不妨设其为k，则直线1的方程为y?kx?1。……4分
lll故点O到直线1的距离为
d?122k2?1，又圆C2：x?y?4，
【附20套高考模拟试题】2020届广东省中山一中高考数学模拟试卷含答案
