2020届广东省中山一中高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB?5千米，BC?12千米，AC?13千米.为了方便市民生活，现在?ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为（ ）
?231?A．5 B．5 C．15 ?D．15
2． “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层
n9?9?货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100?200??万元，则
?10?10n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
x2y23．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0），F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，若点F2ab关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率是（ ） A．2 B．3 C．2
D．3
4．下列选项中为函数f(x)?cos(2x??1)sin2x?的一个对称中心为（ ） 647???1?,0)(,0)(,?)(,0)4 D．12A．24 B．3 C．3
(5．已知函数f?x??x?2xsin?x?1??x?1在区间??1,3?的最大值为M，最小值为m，则M?m?
2??A．4 B．2 C．1 D．0
6．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）
A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度
22xy7．已知点A是焦点在x轴上的椭圆??1的上顶点，椭圆上恰有两点到点A的距离最大，则t的取
4t值范围为（ ）
A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）
x2y2x2y28．已知双曲线C1:??1与双曲线C2:??1有相同的离心率，则双曲线C1的渐近线方程为
4kk9（ ）
y??A．9．在则A．4
6363y??xy??xy??xx2 C．4 D．4 2 B．
中，内角，，所对应的边分别为，，，
，
的平分线交
于点，且
，
的最小值为（ ） B．5
C．
D．
10．设m，n为两条不同的直线，?，?为两个不同的平面，则（ ） A．若m//?，n//?，则m//n C．若m//n，n??，则m?? 11．如图，在矩形
中的曲线是
B．若m//?，m//?，则?//?
D．若m//?，???，则m??
，
的一部分，点
，
，
，在矩形
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A．C．
D．
B．
12．已知曲线y?sin(2x???)向左平移?(??0)个单位， 得到的曲线y?g(x)经过点(?,1)，则（ ）612?2A．函数y?g(x)的最小正周期T?B．函数y?g?x?在?
?11?17??,上单调递增 ?1212??C．曲线y?g?x?关于点??2??,0?对称 3??D．曲线
y?g?x?x?关于直线
?6对称
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知正三棱柱积是________．
ABC?A1B1C1的高为6,AB?4，点D为棱
BB1的中点，则四棱锥
C?A1ABD的表面
?x14．已知
字作答).
2?x?2?n的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含x项的系数为__________．(用数
215．已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB?BC，AB?2，BC?4，若球O的体积为86?，则异面直线PB与AC所成角的正切值为__________．
1[f?x??ax?xlnxe,??)16．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是边长为8的菱形，?BAD?60?，?PBD是等边三角形，二面角P?BD?C的余弦值为
1. 3求证：BD?PC；求直线PC与平面PAD夹角的正弦值.
18．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数
.求函数
的最大值；若
，求实数的取值范围.
19．（12分）某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示。
求居民月收入在[3000,3500）内的频率；根据频率
分布直方图求出样本数据的中位数；为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人？
*an?b?log2?an?1?a1?1an?2an?1?1?n?2,n?N??b??20．（12分）已知数列中，，．记n，判断n是
cn?否为等差数列，并说明理由；在（1）的条件下，设
bnan?1，求数列?cn?的前n项和Tn．
C1:x2?y2?6x?5?0Cl21．（12分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点?，?．求圆1的圆
心坐标；求线段??的中点?的轨迹C的方程；是否存在实数k，使得直线L:有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（10分）已知函数f(x)?|x?2|?|2x?1|.求不等式f(x)?3的解集；若不等式f(x)?ax的解集为空集，求实数a的取值范围.
y?k?x?4?与曲线C只
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C 11．B 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．239?43?36 14．?8 15．3
1[,??)16．2
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． (Ⅰ)见证明(Ⅱ) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）通过几何关系得到BD?平面PAC进而得到异面直线垂直；（Ⅱ）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，进而得到线面角. 【详解】
（Ⅰ）连接AC交BD于点O.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD?AC，且AC和BD互相平分. 又因为PB?PD，O为BD的中点，所以BD?PO， 又因为PO?AC?O，所以BD?平面PAC. 因为PC?平面PAC，所以BD?PC.
（Ⅱ）过点P作PE?OC交点为E，因为BD?平面PAC，所以BD?PE， 因为BD?OC?O，所以PE?平面ABCD.
易知?POE为二面角P?BD?C的平面角，所以cos?POE?2 2122. ，sin?POE?33又因为?BAD?60?，所以?ABD和?PBD都是边长为8的等边三角形. 所以OP?43，则PE?8643. ，OE?33建立如图所示的空间直角坐标系，
【附20套高考模拟试题】2020届广东省中山一中高考数学模拟试卷含答案
