对 L ：中的气体有
p2V2T? （5） p20V20T0由（4）、（5）两式得
p1V1pV?22 （6） p10V10p20V20（6）式可改写成 (1?p1?p10V?Vp?p20V?V)(1?110)?(1?2)(1?220) （7） p10V10p20V20因连结两活塞的杆是刚性的，活塞M2的横截面积是M1的2倍，故有
V1－V10=V2－V20 （8） 把（3）、（8）式代入（7）式得 (1?p1?p10V?Vp?pV?V)(1?110)?(1?110)(1?110) （9） p10V10p20V20若V10=V20，则由（9）式得p1=p10，即若加热前，L1中气体的体积等于L2中气体的体积，则加热后
L1中气体的压强不变，由（2）式可知加热后L2中气体的压强亦不变．
若V10 若V10>V20，则由（9）式得p1> p10，即若加热前， L1中气体的体积大于L2中气体的体积，则加热后 L1中气体的压强必增大，由（2）式可知加热后L2中气体的压强必减小． 评分标准：本题 20 分． 得到（l）式和（2）式或得到（3）得3分，得到（8）式得3分，得到（9）式得8分，最后结论得6 分． 16．参考解答： （i）图1为卫星和碎片运行轨道的示意图．以v1表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以M表示地球E的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有 http://hfwq.cersp.nMm1v12 （1） G?m12(R?h)R?h式中G是引力常量．由（l）式得 v1?GMRGM? （2） R?hR?hRhttp://hfwq.cersp.n以v2表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的 距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量 Mm2Mm212m2v2?G??G （3） 2R?h2a式中a为椭圆轨道的半长轴．由（3）式得 v2?2GMGM2RRGM??? （4） R?haR?haR11 卫星和碎片碰撞过程中动量守恒，有 m1v1－m2v2=(m1+m2)v （5） 这里v是碰后二者结合成的物体（简称结合物）的速度．由（5）式得 v?m1v1?mv22 （6） m1?m2由（2）、（4）、（6）三式并代人有关数据得 v?0.7520GM （7） R结合物能否撞上地球，要看其轨道（椭圆）的近地点到地心的距离rmin，如果rmin ?GM(m1?m2)1M(m1?m)2?(m1?m2)v2?G （8） ?2a2R?h代人有关数据得 a '=5259km （9） 结合物轨道的近地点到地心的距离 rmin=2 a '－（R+h）=3347km 在极坐标中讨论．取极坐标，坐标原点在地心处，极轴由北极指向南极，如图2所示．碰撞点在北极上空，是椭圆轨道的远地点，结合物轨道的椭圆方程 r?p （11） 1?ecos?式中e是偏心率，p是椭圆的半正焦弦，远地点到地心的距离 rmax=R+h （12） 由解析几何有 e?rmax?r2a?min(?0.363 5 ) （13） 在轨道的近地点，r=rmin，θ=0，由（11）式得 p=rmin(1+e)(=4563km) （14） 或有 p=rmax (1－e) （15） 在结合物撞击地球处；r= R，由（11）式有 p （16） 1?eco?sp?R??或 cos （17） eR R?代人有关数据可得 cosθ=－0.7807 （18） θ=141.320 （19） 这是在北纬51.320 ． 评分标准：本题20分． 第（i）小题12分．（1）或（2）、（3）或（4）、（5）或（6）式各2 分，（8）式3分，（10）式3分． 第（ii）小题8分．（11）、（12）、（13）、（14）或（15）、（16）或（17）式各l分，（19）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给l分． 解法二 在直角坐标中讨论．取直角坐标系，以椭圆的对称中心为坐标原点O, x轴通过近地点和远地点并由远 12 地点指向近地点，如图3所示．结合物轨道的椭圆方程是 x2y2?2?1 （20） 2?ab?式中a＇、b＇分别为结合物椭圆轨道的半长轴和半短轴．远地点到地心 的距离 rmax=R+h （21） 根据解析几何，若c为地心与坐标原点间的距离， c= rmax－a＇(=1912km) （22） 22而 b??a??c （23） 注意到a＇由（9）式给出，得 b＇=4899km （24） 结合物撞击地面处是结合物的椭圆轨道与地面的交点，设该处的坐标为xp和yp，则有 xp=Rcosθ+c （25） yp=Rsinθ （26） 式中θ为从地心指向撞击点的矢经与x方向的夹角．因撞击点在结合物的轨道上，将（24）、（25）式代入轨道方程（20）式，经整理得 2?2?a?2)co? R2(bs?2?2?2? 0 （27） b2cRc?o?s?ab2?a2?R引人以下符号并代人有关数据得 11?2?a?2)? )??R2(b(?148?410kmhttp://hfwq.cersp.n )??2b?2cR(?584?61110kmht?2b?2?a?2( )??b?2c2?aR2?5465?1011kmhttp://hfwq.cersp.n代入（27）式得 （28） ?co2s???co?s??? 0????2?4??解得 cos （29） ??2?舍掉不合理的答案，得 cosθ=－0.7807 （30） θ=141.320 （31） 这是在北纬51.320 ． 评分标准： （20）、（21）、（22）、（23）或（24）、（27）式各l分，（31）式2分（答案在1410到1420之间的都给2分），正确指出纬度给1 分． http://hfwq.cersp.nhttp://hfwq.cersp.nhttp://hfwq.cersp.net13
2009年第26届物理竞赛预赛试卷及答案(完美版)
