2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?e(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)r?xx2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序:
?0?1dy?1?y2?1f(x,y)dx＝_____________.
(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)= _____________.
(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为
(A) (B) (C)
(D)
(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy
(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}
(C)曲线 z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}
y?0z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
y?0(D)曲线 (3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?
f(1?cosh)(A)lim存在
h?0h2(C)limh?0
f(1?eh)(B) lim存在
h?0h(D)limh?0f(h?sinh)存在
h2111??4??111?0,B???0111???111??00000 0000
f(2h)?f(h)存在
h?1?(4)设A??1?1??10??0?,则A与B 0??0?(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为
(A) -1
(B)0
(C)
1 2 (D)1
三、(本题满分6分)
arctanexdx. 求?e2x 四、(本题满分6分)
设函数z?f(x,y)在点(1,1)可微,且
f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求
五、(本题满分8分)
d3?(x)dxx?1.
1?x2?(?1)narctanx x?0 设f(x)? x,将f(x)展开成x的幂级数,并求?的和. 2n?11?4n1 x?0 六、(本题满分7分)
计算I??L(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面 x?y?z?2与
柱面x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?(x)?0.5.
x?0 八、(本题满分8分)
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程
2(x2?y2)(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积z?h(t)?h(t)成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分6分)
设α1,α2,
,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,,βs?t1αs?t2α1,
,βs也为AX?O的一个基础解系?
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2, 十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,Ax线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.
?1(1)记P?(x,Ax,Ax),求B使A?PBP.
22(2)计算行列式A?E. 十一、(本题满分7分)
某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布. 十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?)抽取简单随机样本X1,X2,2,X2n(n?2),
n12nXi,Y??(Xi?Xn?i?2X)2,求E(Y). 样本均值X??2ni?1i?1
2001年考研数学一【试题版】【无水印】
