∴OB＝，OC＝3，
＝
，
∴tan∠CBO＝∴∠CBO＝60°
∵点D是△ABC的内心， ∴BD平分∠CBO， ∴∠DBO＝30°， ∴tan∠DBO＝∴OD＝1，
∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；
（2）连接DF，
过点F作FG⊥y轴于点G， ∵E（0，﹣1） ∴OE＝1，DE＝2， ∵直线EF与⊙D相切， ∴∠DFE＝90°，DF＝1， ∴sin∠DEF＝
， ，
∴∠DEF＝30°， ∴∠GDF＝60°， ∴在Rt△DGF中， ∠DFG＝30°， ∴DG＝，
由勾股定理可求得：GF＝∴F（
，），
，
设直线EF的解析式为：y＝kx+b， ∴
，
x﹣1；
第 16 页 / 共 21 页
∴直线EF的解析式为：y＝
（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴该点必为△ABC外接圆的圆心， 由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴△ABC外接圆的圆心为点D ∴DP＝2
，
设直线EF与x轴交于点H， ∴令y＝0代入y＝∴x＝∴H（∴FH＝
， ，0）， ，
x﹣1，
当P在x轴上方时， 过点P1作P1M⊥x轴于M， 由勾股定理可求得：P1F＝3∴P1H＝P1F+FH＝
，
，
∵∠DEF＝∠HP1M＝30°， ∴HM＝P1H＝∴OM＝2∴P1（2
， ，5），
，P1M＝5，
当P在x轴下方时， 过点P2作P2N⊥x轴于点N， 由勾股定理可求得：P2F＝3∴P2H＝P2F﹣FH＝∴∠DEF＝30° ∴∠OHE＝60° ∴sin∠OHE＝∴P2N＝4，
第 17 页 / 共 21 页
，
，
，
令y＝﹣4代入y＝∴x＝﹣∴P2（﹣
，
x﹣1，
，﹣4），
，
综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（25）或（﹣
，﹣4）．
【点拨】本题是圆的综合问题，涉及圆的外接圆和内切圆的相关性质，圆的切线性质，锐角三角函数，一次函数等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活运用． 26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
第 18 页 / 共 21 页
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．
【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去； （3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN＝DM，②ND＝NM，③MN＝MD）讨论就可解决问题．
【解析】解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∴抛物线的顶点为（0，）， 故抛物线的解析式可设为y＝ax2+． ∵A（﹣1，2）在抛物线y＝ax2+上， ∴a+＝2， 解得a＝﹣，
∴抛物线的函数关系表达式为y＝﹣x2+；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，
第 19 页 / 共 21 页
令y＝0得，﹣x2+＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣3， ∴点C的坐标为（3，0）． 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 则有
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+． 设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）． ∵点F（p，p）在直线y＝﹣x+上， ∴﹣p+＝p， 解得p＝1，
∴点F的坐标为（1，1）． ②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（﹣3，3）， 此时点F不在线段AC上，故舍去． 综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2， 则OD＝t，OE＝t+1．
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
当x＝t时，y＝﹣t+，则N（t，﹣t+），DN＝﹣t+．
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）+＝﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME＝﹣t+1． 在Rt△DEM中，DM2＝12+（﹣t+1）2＝t2﹣t+2．
在Rt△NHM中，MH＝1，NH＝（﹣t+）﹣（﹣t+1）＝，
第 20 页 / 共 21 页
∴MN2＝12+（）2＝． ①当DN＝DM时， （﹣t+）2＝t2﹣t+2， 解得t＝； ②当ND＝NM时， ﹣t+＝解得t＝3﹣
＝；
，
③当MN＝MD时， ＝t2﹣t+2， 解得t1＝1，t2＝3． ∵0≤t≤2，∴t＝1．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣
或1．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）、（3）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．
第 21 页 / 共 21 页
2016年湖南省衡阳市中考数学试卷含答案（高清） - 图文
