2019-2020学年上海市虹口区高二第二学期期末数学试卷
一、填空题（共14小题）.
ii是虚数单位） 1．若2+（是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n等于 ．2．已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝2，若l1∥l2，则实数a的值等于 ．
3．在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（5，0），若||PA|﹣|PB||＝8，则P点的轨迹方程为 ．
4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，则直线AC与A1D所成的角的大小等于 ．
5．过抛物线y2＝4x的焦点作抛物线对称轴的垂直弦，则此弦的长为 ．
6．如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若
的坐标为（5，4，3），则
的坐标为 ．
7．一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号为1，2，…，9，随机摸出两个球，则两个球编号之和为奇数的概率是 （结果用分数表示）．
8．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3的值为 ．
9．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A到截面B1CD的距离等于 ． 10．在平面直角坐标系xOy中，直线相切，则实数a的值为 ．
11．（A组题）我们知道：用平行于圆锥母线的平面（不过顶点）截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于 ．
（t为参数）与圆
（θ为参数）
12．（A组题）已知点P（﹣1，0），圆（x﹣1）2+y2＝9上的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2）满足
（λ∈R），则
的最大值为 ．
13．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离等于 ．
14．（B组题）求圆（x﹣1）2+y2＝4上的点到直线3x+4y﹣23＝0的距离的最大值 ．二.选择题
15．已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（ ）A．充分不必要条件 C．充要条件
16．设F1、F2分别是椭圆E：x2+
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆
E相交于A、B两点，且2|AB|＝|AF2|+|BF2|，则|AB|的长为（ ） A．
B．1
C．
D．
17．方程为2x2﹣4x+y4＝2的曲线，给出下列四个结论： ①关于x轴对称； ②关于坐标原点对称； ③关于y轴对称； ④1﹣
≤x≤1+
，﹣
≤y≤
；
以上结论正确的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
18．（A组题）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1
上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列三个结论： ①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ＝时，S为等腰梯形； ③当CQ＝1时，S的面积为
；
以上结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（B组题）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，三棱锥Q﹣A1AP的体积记为V1，三棱锥C﹣A1AP的体积记为V2，则以下结论正确的是（ ）
A．V1＞V2 B．V1＝V2 C．V1＜V2
D．V1与V2的大小关系不能确定 三.解答题
20．已知i是虚数单位，复数求实数a、b的值． 21．已知双曲线Γ：x2﹣
＝1（b＞0），直线l与Γ交于P、Q两点．
满足方程
（a，b∈R），
（1）若点（3，0）是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程； （2）若点P的坐标为（﹣1，0），直线l的斜率等于1，且|PQ|＝渐近线方程．
22．已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，ABCD为边长等于
的
，求双曲线Γ的
正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求PB与平面ABC所成的角的大小； （3）求二面角B﹣PA﹣C的大小． 23．焦距为2c的椭圆为“等差椭圆”． （1）如果椭圆
（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；
（a＞b＞0），如果满足“2b＝a+c”，则称此椭圆
（2）（A组题）如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，过D（0，a）作直线l与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；
（3）（A组题）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由． （2）（B组题）椭圆求此“等差椭圆”的方程； （3）（B组题）如果椭圆
（a＞b＞0）是“等差椭圆”，过D（0，a）（a＞b＞0）是“等差椭圆”，如果焦距为12，
作直线l与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率．
24．定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离． （1）在空间，求定点O距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；
（2）在空间，线段AB（包括端点）的长等于1，求到线段AB的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；
（3）在空间，记边长为1的正方形ABCD区域（包括边界及内部的点）为Ω，求到Ω
距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积．
2019-2020学年上海市虹口区高二下学期期末数学试卷 (解析版)
