最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
1、 2、 3、 4、 5、 6、
证明：1+111??...??2； 22223n若：a3?b3?2，求证：a?b?2 ； 若：n?N?，求证：
1111???...??1； 2n?1n?22n若：a,b?0，且ab?a?b?3，求：a?b的取值范围 ；
abc?? ； 1?a1?b1?c111111?2?2?...?2?1? ； 当n?2时，求证：?2n?123nn若：a,b,c是?ABC的三边，求证：
7、 若x?R，求y?x2?x?1?x2?x?1的值域 ； 8、 求函数y?3si?n的最大值和最小值 ；
2?co?s222???a?bb?cc?a9?a9、 若a,b,c?0，求证：
；
?bc10、 若a,b,c?R，且a2?b2?c2?25，试求：a?2b?2c的取值范围 11、 若a,b,c?R，且2a?b?2c?6，求a2?b2?c2的最小值
(a?1)2(b?2)2(c?3)2???1，求a?b?c的最大值和最小值； 12、 若a,b,c?R，且
165413、 若a,b,c?0，x,y,z?0，且满足a2?b2?c2?25，x2?y2?z2?36，
ax?by?cz?30，求：
a?b?c的值；
x?y?z14、 求证：?15? ； 2k3k?1n115、 当n?2时，求证：2?(1?)n?3；
n11?31?3?51?3?5?...?(2n?1)??...??2n?1 ； 16、 求证：?22?42?4?62?4?6?...?(2n)17、 求证：2(n?1?1)?1?18、 已知：x?0,求证：
111??...??2(2n?1?1) ； 23nx?ln(1?x)?x ； 1?x最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
11111?ln(1?x)?1??...? ； 19、 已知：n?N?，求证：??...?23n?12n20、 已知：n?2，求证：2n?n(n?1) ；
111n? ； 21、 已知：n?N?，求证：1???...?n232?1222、 设：Sn?1?2?2?3?...?n(n?1)，求证：n(n?1)?2Sn?(n?1)2 ； 23、 已知：n?N?，求证：1?
【解答】 1. 证明：1+n111??...??2 . n?1n?23n?1111??...??2 ； 2232n2nnn1111??1?1?1、证明：?2?1??2?1???1??????1??1???2.
k??n?k?1kk?2kk?2k(k?1)k?2?k?1从第二项开始放缩后，进行裂项求和.
另：本题也可以采用积分法证明.
构建函数：f(x)?1，则f(x)在x?R?区间为单调递减函数.
x2nn1111111于是：?2?1??2?1??2dx?1??1?(?)?2??2
1xx1n1nk?1kk?2knn从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,n]；积分项小于求和项时，积分限为[2,n?1]. 2. 若：a3?b3?2，求证：a?b?2；
2、证明：a3?b3?(a?b)(a2?b2?ab)?ab(a?b)，即：ab(a?b)?2
则：3ab(a?b)?6，a3?b3?3ab(a?b)?8，即：(a?b)3?8，即：a?b?2. 立方和公式以及均值不等式配合.
另：本题也可以采用琴生不等式证明.
构建函数：f(x)?x3，则在在x?R?区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.
f(x)?f(x)?...?f(x)x?x?...?x12nn) 即：?f(12nn最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
33a?b?3 对于本题：f(a)?f(b)?f(a?b) 即：a?b????222?2?3a3?b32a?ba?b??即：?，即：?1，即：a?b?2 ???1?2222??琴生不等式可秒此题.
1111??...??1； 3. 若：n?N?，求证：?2n?1n?22n111?? ， 3、由：n?n?n?k?n (k?1,2,...,n)得：
2nn?knnnn111n111???...?? 则：?????， 即：
2nn?1n?2n?nnk?12nk?1n?kk?1nn1111???...??1 . 2n?1n?22n从一开始就放缩，然后求和.
另：本题也可以采用不等式性质证明.
故：
111??，当有n项累加时， 2nn?kn不等式两个边界项乘以n倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n倍，小于最大值的n倍.
所证不等式中的任何一项如第k项，均满足
111??...?另外，的最大值是ln2?0.693147...，本题有些松. n?1n?22n4.若：a,b?0，且ab?a?b?3，求：a?b的取值范围 ； 4、解：(a?b)2?a2?b2?2ab?4ab?4(a?b?3)?4(a?b)?12，
令：t?a?b，则上式为：t2?4t?12?0. 解之得：t?6. 均值不等式和二次不等式. 5. 若：a,b,c是?ABC的三边，求证：5、证明：构造函数f(x)?abc?? ； 1?a1?b1?cx，则在x?0时，f(x)为增函数. 1?x所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a?b?c，
a?bc?那么，f(a?b)?f(c)，即： .
1?a?b1?cababa?bc?????. 1?a1?b1?a?b1?a?b1?a?b1?c构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.
另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较.
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总(解析版)
