四．设x(n)是一个10点的有限序列
x（n）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ?X(k)
k?09,（4）
?j2?k/5eX(k) ?k?09
解：（1） W0?1N（2）
W5n10X[0]??x[n]?14n?09?1????1n?偶数n?奇数X[5]?n?0n?偶?x[n]??x[n]??12n?1n?奇899（3） x[0]?1X[k]?10k?0
?X[k]?10*x[0]?20k?09（4） x[((n?m))N]
?e?j(2?k/N)mX[k]?j(2?k/10)219x[((10?2))10]??e10k?0X[k]?ek?09?j(2?k/10)2X[k]?10*x[8]?0五． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y1(n)= x(n)⑥h(n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y2(n)= x(n)⑧h(n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）
5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 2
y(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2}
6
(2)
5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2
y1(n)= x(n)⑥h(n)= {-13,4,-3,13,-4,3}
(3)因为8>(5+3-1),
所以y3(n)= x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y3(n)与y(n)非零部分相同。
六．用窗函数设计FIR滤波器时，滤波器频谱波动由什么决定 _____________，滤波器频谱过渡带由什么决定_______________。
解：窗函数旁瓣的波动大小，窗函数主瓣的宽度
七．一个因果线性时不变离散系统，其输入为x[n]、输出为y[n]，系统的差分方程如下：
y（n）-0.16y(n-2)= 0.25x(n-2)＋x(n) (1) 求系统的系统函数 H(z)=Y(z)/X(z); (2) 系统稳定吗?
(3) 画出系统直接型II的信号流图; (4) 画出系统幅频特性。 解：(1)方程两边同求Z变换：
Y(z)-0.16zY(z)= 0.25zX(z)＋X(z)
-2
-2
Y(z)1?0.25z?2
H(z)??X(z)1?0.16z?2(2)系统的极点为：0.4和－0.4,在单位圆内，故系统稳定。 (3)
x(n)z-1y(n)0.16z-10.25
7
(4)
ImH(ej?)j0.5-0.40.40-j0.52.7Re????20.340?2??
八．如果需要设计FIR低通数字滤波器，其性能要求如下： (1)阻带的衰减大于35dB, (2)过渡带宽度小于?/6.
请选择满足上述条件的窗函数，并确定滤波器h(n)最小长度N
窗函数矩形汉宁汉明布莱克曼主瓣宽度过渡带宽4?/N8?/N8?/N12?/N1.8?/N6.2?/N6.6?/N11?/N旁瓣峰值衰减(dB)-13-31-41-57阻带最小衰减(dB)-21-44-53-74解：根据上表，我们应该选择汉宁窗函数，
8???N6N?48-1
-2
-4
-5
-6
十．已知 FIR DF的系统函数为H(z)=3-2z+0.5z-0.5z＋2z-3z,试分别画出直接型、线性相位结构量化误差模型。
x(n)3z-1z-1z-1z-1z-1z-1-20.5-0.52-3y(n)直接型
e1(n)e2(n)e3(n)e4(n)e5(n)e6(n)
8
x(n)线性相位型3-1z-1-1z-1-1z-1z-1z-1z-1y(n)
-20.5e1(n)e2(n)e3(n)
十一．两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：.
(1) 序列y[n]的有效长度为多长？
(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？ (3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；
(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3)
补零L点-DFTL点-IDFT补零L点-DFT需要
3Llog2L次复数乘法。
十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的DFT，回答下列问题：
(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？
(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶
r
距(dm)和第2级中不同的权系数(WN)。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出
y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。
解(1)N应为2的幂，即N＝2，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。
9
m
(2)3级，4个，蝶距为2，W ，WN (3) y[n]=y1[n]+jy2[n]
N?1
Y[k]??y[n]WNkn n?0 1Y1[k]?Yep[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]} 21* Y2[k]?Yop[k]?2{Y[((k))N]?Y[((?k))N]}十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。
(1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：
*xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)0
N
2
*xe(n)?xe(N?n)?Xe(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）] DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]
x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期
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