一、 填空题（每小题3分，共18分）
12341. 设D??(a2341ij)?3412，Aij表示元素aij的代数余子式，
4123则A14?2A24?3A34?4A44? 0
2. 设A,B,C均为n阶矩阵，已知det(E?A)?0．若B?E?AB,C?A?CA，则B?C? 。
3. 设三阶矩阵A,A?E和E?2A均不可逆，则行列式A?E? 1.
4. 向量组?rrrrrrrrr1,?2,?3的秩为2，则向量组?1??1??2,?2??2??3,
?rrr3??3??1的秩为 2
5. 设α?????1,α2,α3为4元非齐次线性方程组Ax?β的3个解,R(A)?3.其中
α?)T,α??1?(1,2,3,42?α3?(0,1,2,3)T. Ax??β?的一般解为 η?α-?T2-?3））?(1,2,3,4)?k(2,3,4,5)T1?k（2?1（ 6. 若?r,?rrr,?rrrrr12,?3,?12都是4维列向量，且4阶行列式det(?1,?2,?3,?1)?m, det(?r?rrr1,2,?2,?3)?n，
则
4阶行列式
det(?r?rrrr3,2,?1,?1??2)?n?m.
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1．若??,??线性无关，k为任意实数，则 【A 】
A．?????线性无关; B．?????线性相关; C．k??线性无关; D．k??线性相关.
2．设方阵A满足A2?A?2E?0，则A?1?【 B】
A．(A?E); B．12(A?E) ; C．(A?E) ; D．12(E?A).
3．下列命题错误的是 【D 】
A．若矩阵A和B可交换，则矩阵AB10与矩阵BA10也可交换。 B．若矩阵A?B和矩阵A?B可交换，则矩阵A和B也可交换。 C．若矩阵A和B可交换，则AT和BT也可交换。
D．若矩阵AB和BA可交换，则矩阵A和B也可交换。
?120?4. 对于矩阵A???010??100??101?与矩阵B????01?3??，下列结论正确的是【 C】 ????12?6??A. 合同; B. 相似 ; C. 不等价; D.具有相同的秩。
5. A,B均是m?n矩阵，若Axr?r0的解也是Bxr?r0的解，则矩阵A,B的秩
R(A),R(B)一定满足【 D 】
A.
R(A)?R(B).; B．R(A)?R(B).; C．R(A)?R(B).; D．R(A)?R(B)..
6.设?rr1,?2是n阶矩阵A的两个特征值，其对应的特征向量分别是?1,?2，且
? 1 ? ? ? 2 ? 0，则 【C 】 A．?rr B．?rr1??2是A的特征向量; 1??2是A的特征向量; C．?rrA2的特征向量; D．?rr1??2是1??2不是A2的特征向量.
三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“对”或者“错”）
rr?1?20?1．向量空间V??xx?(a1,0,a3,L,an),ai?R?的维数为n?2. ??2．已知A,B为三阶矩阵，且满足2A?1B?B?4E，求矩阵A,其中B?120. ??( 错 )
?002????1?1?12．设A,B为n阶矩阵，且AB可逆，则(AB)?BA ?1?1解：2AB?B?4E?2B?AB?4A?2B?A(B?4E)?A?2B(B?4E).（4
(对 )
3.
. A与BA与B方阵等价，则一定合同
分）
( 错 ) 4. 若A,B为非零矩阵,且AB?0,则A?0或B?0. ( 错 ) 5. 设A是m?n矩阵,且秩R(A)?m,若增加矩阵A行数,则A的秩可能增加.( 对 )
四、计算题（一）（每小题8分，共16分）
24?1?21.计算行列式D??37?145?927的值.
2?512解
：
24?1?224?1?2D??37?14?5306?5365?927r2?r1,r3?2r1,r4?r19?103(4分）??9?132?5124?1004?10
736??5?13?9（4分）
0?10注意过程，过程正确答案错误给一般以上分数
??3?20??1??14140??B?4E??1???1?20????18?380?（3分）
??2?????00???00?12???1?20??0??020?A?2B(B?4E)?1?2??120???1414?18?38????1?10?.（1分）
?02???0??0???00?12??????00?2??
五、计算题（二）（每小题12分，共24分）
1．当?为何值时，方程组
??x1?2x2??x3?2?3x1?2?x2?9x3?6 ???x1?6x2?9x3?6（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷解，并求其通解.
解：因为A??2(??3)2(??6)（2分）
（1） 当??3,???6时，A?0，方程组有惟一解；（2分） （2） 当???6时，R(A)?2,R(A)?3，故方程组无解；（2分）
（3） 当??3时，R(A)?R(A)?1?3，故方程组有无穷解（2分），其解为
?x1??2???2???3 ???x?2?????0???k?1?1??k?2?0?.（4分）
?x3????0?????0?????1??注意通解中的两个向量有可能不同，但仍然正确的情况，需要给足分数。请大家一定注意方法的正确性，方法正确给一半以上分数。
?1?2?4??500?2．设方阵A????2x?2?与对角阵???0y0?相似，求x,y的值；并求可??4?21????????00?4??逆阵P，使P?1AP??.
解：利用相似矩阵有相同的行列式值及相同的迹可得：
???15x?40??20y，解得x?4,y?5 ?x?2?y?1故矩阵A的三个特征值为?1,2?5,?3??4
?424??212?当?1,2?5时，?1E?A???212?~?000?,对应的特征向量
?24???00??4???0??r?1?p?r?0?1????2,p??2? ??2???0?????1????524?当 ???10?1??2?3??4时，?3E?A???2?82~?0?21?，对应特征向量为rp??3?1
??????42?5????000?????2??取P?(rpr,r?p?102???11,p23)???2?21，则有PAP????.
?012??
注意：三个特征向量有可能因为方程组求解而造成不同，但是仍然是正确的情况。请大家一定注意方法的正确性，方法正确给一半以上分数。
六、证明题（14分，每小题7分）
1. 设?是A的特征值，对应的特征向量为x?，P为n阶可逆矩阵，试证明：?也是
P?1AP的特征值，对应的特征向量为P?1x?。
证明：由题意Ax??x（2分），既有AP?1Px??x（2分），两边左乘P?1，得到：
?P?1AP??P?1x????P?1x?（2分）
即 ?是P?1AP的特征值，对应的特征向量为P?1x?（1分）。
2．设向量组(Ⅰ)：?rrrrr1,?2,L,?m线性无关，向量?1可由(Ⅰ)线性表示，但向量?2不能由(Ⅰ)线性表示。证明：向量组?r,?rrrr12,L,?m,(??1??2)线性无关．
证明：设有数kkrr?L?krrrr1,k2,L,m,k，使k1?1?k2?2m?m?k(??1??2)?0（2分） ①
则必有k?0（1分），否则，若k?0，则由上式知?rr?rrr2可由?1,2,L,?m,?1线性表示，
又由已知?rr1可由(Ⅰ)线性表示，从而向量?2也可由(Ⅰ)线性表示，与已知矛盾（3分）。
由于k?0，利用①得：krrrr1?1?k2?2?L?km?m?0
因向量组(Ⅰ)线性无关，所以krrrrr1?k2?L?km?0（1分），故?1,?2,L,?m,(??1??2)线性无关。
重庆大学《线性代数》模拟试题(6)
