【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，
?Sn?
Sn为数列{an}的前n项和，则数列?n?的前n项和取最小值时的n为( )
?
?
A.3 C.4或5
B.3或4 D.5
(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________.
??（a1＋2d）（a1＋14d）＝25，
解析 (1)由题意知?
??a1＋4d＝5，由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，
n（n－1）
na1＋d
2
n
Sn∴n＝
＝－3＋n－1＝n－4，
则n－4≥0，得n≥4，
?Sn?
∴数列?n?的前n项和取最小值时的n为3或4.
?
?
(2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2， n（n－1）n（n－1）
Sn＝na1＋d＝20n－×2
2221?2?21?2?
＝－n＋21n＝－?n－2?＋?2?，
????
2
又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110
[思维升华]
1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想
(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]
1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A.100
B.99
C.98
D.97
解析 设等差数列{an}的公差为d，由已知， ???9a1＋36d＝27，?a1＝－1，得?所以? ???a1＋9d＝8，?d＝1，所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98. 答案 C
a69S112.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a＝11，则S＝( )
5
9
A.1 B.－1 C.2
1
D.2 S1111a6119
解析 由于S＝9a＝9×11＝1.
95答案 A
11
3.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足－a＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}
an＋1n
?1?
为调和数列，已知数列?x?为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝( )
?n?A.10
B.20
C.30
D.40
11
解析 依题意，1－1＝xn＋1－xn＝d，
xn＋1xn∴{xn}是等差数列.
20（x1＋x20）
又x1＋x2＋…＋x20＝＝200.
2∴x1＋x20＝20，从而x5＋x16＝x1＋x20＝20. 答案 B
4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤
B.184斤
C.191斤
D.201斤
解析 用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 8×7
∴8a1＋2×17＝996，解之得a1＝65.
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤. 答案 B
S9S55.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，9－5＝－4，则Sn取最大值时的n为( ) A.4
B.5
C.6
D.4或5
S9S5解析 由{an}为等差数列，得9－5＝a5－a3＝2d＝－4， 即d＝－2，
11
由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>2， 所以Sn取最大值时的n为5. 答案 B 二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.
解析 设项数为2n ，则由S偶－S奇＝nd得，25－15＝2n解得n＝5，故这个数列的项数为10. 答案 10
7.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝2anan＋1，则a6＝________. 11
解析 将an－an＋1＝2anan＋1两边同时除以anan＋1，－a＝2.
an＋1n
?1?1
所以?a?是以a＝1为首项，2为公差的等差数列，
?n?
1
11所以a＝1＋5×2＝11，即a6＝11.
61
答案 11 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________. 解析 依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d10×910×988
＝16＋9d，解得d＝9，因此S100＝10S10＋2d＝10×16＋2×9＝200. 答案 200 三、解答题
9.等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{an}首项为a1，公差为d，
a＝1，??1?2a1＋5d＝4，
由题意得?解得?2
a＋5d＝3.d＝5.?1??2n＋3
所以{an}的通项公式为an＝5. ?2n＋3?
?. (2)由(1)知，bn＝?
?5?
2n＋3
当n＝1，2，3时，1≤5<2，bn＝1；
2n＋3
当n＝4，5时，2≤5<3，bn＝2；
2n＋3
当n＝6，7，8时，3≤5<4，bn＝3；
2n＋3
当n＝9，10时，4≤5<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值；
Sn(2)设数列{bn}的通项公式bn＝n，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
(1)解 设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， k（k－1）k（k－1）2
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k＋k，
22由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. n（2＋2n）
(2)证明 由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
2
Sn则bn＝＝n＋1，
n故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， n（2＋n＋1）n（n＋3）
所以Tn＝＝. 22
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
2019-2020创新设计一轮复习 第五章 第2节
